OliForum Matematico

domandina semplice semplice: devo disegnare (al CAD) un ponte sospeso.
Vorrei sapere che curva descrive il cavo portante, quello che regge tutti i pendini.

Catenaria? Parabola? Altro?

Edit: Ops..Non avevo considerato i cavi verticali e immaginavo la fune principale sospesa senza niente sotto...a questo punto mi fido che è una parabola

Edit :

Confermo che si ha una parabola.

La catenaria vale solo se non c'è il ponte sotto.

Lo pensavo anche io.

Però se ci riflettiamo un attimo, un punto P della catenaria è soggetto alla forza peso e alla reazione vincolare degli estremi. Mentre un punto P del cavo del ponte è soggetto alla forza peso, alla reazione vincolare, e in più sorregge tutta la massa del ponte sotto. I pendini trasmettono la forza peso corrispondente a questa massa, e la distribuiscono sulla lunghezza della CORDA, e non dell'ARCO della curva.

Non so se mi sono spiegato, quindi faccio esempio.

Poniamo che il cavo abbia densità lineare $ d_{cavo} $, che il ponte abbia densità lineare $ d_{ponte} $ e che la curva su cui si dispone sia descritta da una certa funzione $ f(x) $. Allora, senza andare a scomodare gli infinitesimi, supponiamo di dividere il PONTE in tanti intervalli $ \Delta x $. Supponendo anche che il numero di pendini sia almeno $ \frac{x}{\Delta x} $, e quindi che il peso del ponte sia distribuito in maniera uniforme, allora possiamo fare la seguente considerazione:

Nel cavo senza ponte attaccato, in ogni intervallo $ \Delta x $ c'è un pezzo di cavo che è soggetto ad un peso $ \Delta x f'(x) \cdot d_{cavo} \cdot g $. Quantità che varia di molto tra il centro della curva (supponiamola simmetrica) e un estremo.

Nel cavo col ponte attaccato, la forza peso totale che il pezzo di cavo regge è $ \Delta x f'(x) \cdot d_{cavo} \cdot g + \Delta x \cdot d_{ponte} $. Essendo $ d_{cavo} $ molto minore di $ d_{ponte} $ (sezione di qualche decina di centimetri quadrati, contro alcuni metri quadrati per il cemento del ponte), avremo che nel caso del cavo che sorregge il ponte, la differenza di forze tra estremi e centro è poca in proporzione, mentre senza peso attaccato, è più marcata.

Spero di essere riuscito a spiegarmi un po' decentemente.

Mi intrometto con un'indicazione bibliografica forse poco utile: su "Le curve matematiche", di Luciano Cresci, a p. 15 si afferma che "la catenaria diventa parabola se la fune o catena sospesa alle estremità sostiene dei pesi distribuiti uniformemente, come può essere il caso di un ponte sospeso."

Che ne dite?
Oltre al fatto che a quest'ora farei decisamente meglio ad andare a dormire, è chiaro...

Saluti.

parabola, tutti a letto

Beh, veramente perché sia una parabola è necessario che:
1) il filo principale sia inestensibile e di massa trascurabile
2) il numero dei cavi verticali sia infinito (diciamo, molto grande..)
3) i cavi verticali siano equispaziati e collegati in modo da avere tutti lo stesso tiro...