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Per la serie: diamo ai nuovi ragazzi problemi facili

Determinare il massimo n per cui esiste una progressione aritmetica infinita di ragione 2003 tale che nessun termine è somma di n potenze 2002-esime

garantisco che non è difficile

Scusate per l'ennesima volta la mia ignoranza ma cosa significa "progressione aritmetica infinita di ragione 2003"??

una successione in cui si passa da un termine al successivo aumentando ad ogni passo di 2003:

k, k+2003, k+2*2003, k+3*2003,...

Potreste scrivere la soluzione?? Mi interesserebbe...
Grazie

Può essere illuminante riscrivere il problema in termini di congruenze.
Una progressione aritmetica infinita di ragione 2003 è semplicemente una cosa del genere:
"tutti i numeri maggiori di N e congrui a k modulo 2003"
per qualsiasi N,k.

Proseguendo su questo stile, la condizione su n si riscrive come:
"la somma di n potenze 2002-esime non è mai congrua a k modulo 2003", per qualche k a piacere.
(in realtà questa è leggermente più debole, quella giusta sarebbe "la somma di n potenze 2002-esime è congrua a k modulo 2003 solo per un numero finito di casi")
n è il massimo numero con questa proprietà.

Lo riscrivo ancora meglio: esiste un k per cui, per ottenere un numero congruo a k modulo 2003 come somma di potenze 2002-esime, me ne servono più di n.

Ora vediamo se qualcuno riesce a trovare un k adeguato alla situazione, pensando alle congruenze (2003 guarda a caso è primo) e a dimostrare bene la sua tesi.

Notare che ho solo riscritto il problema in altri termini... ma questo spesso è un passo molto importante.

$ \displaystyle x^{2002}\equiv0,1\pmod{2003} $

$ \displaystyle \stackrel{\underbrace{0+0+\dots+1+1}}{2001} $$ \le2001\cdot1=2001<2002 $

Ok, tanto vale che dimostri tutto adesso!

Per il Piccolo Teorema di Fermat si ha che
$ x^{2002}\equiv\left\{\begin{array}{ccc}0\mod p&\mbox{se}&x\equiv0\bmod p\\1\mod p&\mbox{se}&x\not\equiv0\bmod p\end{array} $

Dunque una somma di potenze $ 2002 $-esime modulo $ 2003 $ è congrua a una somma di zeri e uni.
Prendendo almeno $ 2002 $ addendi ciascuno dei quali è $ 0 $ o $ 1 $ posso formare tutte le classi di resto modulo $ 2003 $.
Infatti per formare la classe $ 0\le k\le2002 $ mi basta prendere $ k $ uni e i restanti zeri.
Se invece gli addendi sono solamente $ 2001 $ (ognuno dei quali è sempre $ 0 $ o $ 1 $), allora la somma sarà comresa tra $ 0 $ è $ 2001 $.
In tal modo nessuna somma sarà congrua a $ 2002 $ modulo $ 2003 $.

Deinde, $ \fbox{n=2001} $.

Ho fatto bene a chiederti di dimostrare tutto... perchè così com'è è sbagliata!

Ovviamente però è solo un dettaglio.
Hai trovato, per n=2001, una progressione aritmetica infinita senza somme di n potenze.
Ora vuoi dimostrare che per n>2001 non c'è nessuna progressione aritmetica infinita di quel tipo. Il problema è che dimostrare che riempi tutte le classi di resto mod 2003 non basta, perchè potrebbe accadere che riempi tutte le classi di resto con numeri minori di 100000000, mentre i numeri maggiori 100000000 che sono somme di potenze 2002esime non sono mai congrui a 345 modulo 2003, e ciò darebbe una progressione aritmetica infinita.
Per concludere nella più grande correttezza formale bisogna dimostrare che, per ogni k ed n>2001 puoi ottenere somme di n potenze 2002 congrue a k modulo 2003 (fin qui c'eri anche tu) arbitrariamente grandi. Ma ciò è di un'ovvietà pazzesca, quindi pongo fine al fin troppo lungo sproloquio.

Onestamente non ho colto il problema...

edriv ha scritto:Per concludere bisogna dimostrare che, per ogni k ed n>2001 puoi ottenere somme di n potenze 2002 congrue a k modulo 2003 arbitrariamente grandi.

Per esempio posso prendere
$ \underbrace{(1+2003t)^{2002}+\dots+(1+2003t)^{2002}}_k+\underbrace{0+\dots+0}_{n-k}\equiv k\pmod{2003} $
e facendo crescere $ t $ la somma diventa arbitrariamente grande.

A me sembra che l'hai colto pienamente...

edriv ha scritto:A me sembra che l'hai colto pienamente...

LOL