palline ed urne...

[giulia.sim]

Carissimi,
vi pongo un quesito su palline ed urne (sarà anche la solita minestra, ma scaldata in questo modo non l'avevo mai trovata...)
Solita urna con N palline, di cui n 'marcate vincenti'.

La probabilità di vincita è n/N
La difficoltà sta nel leggere fino alla fine....

ora, il padrone dell'urna determina in modo casuale l'associazione tra ciascuna pallina ed altre m= 3 DISTINTE TRA LORO, per esempio

pallina 1 -> palline associate 1, 7 , 30
pallina 2 -> palline associate 5, 7 , 21
...
ecc fino alla pallina N
Notare che alla pallina 1 è associata la pallina 1 stessa;
i gruppi di 'palline associate' non sono disgiunti

Le regole della lotteria ora sono:
estrai una pallina, guarda le palline associate, ed in base a quello determina se hai vinto. (Vinco se ALMENO una tra le palline associate coincide con una di quelle 'marcate vincenti')

Quale è la probabilità di vincita?
facile, ipotizzando l'onestà del proprietario dell'urna, è come estrarre 3 palline contemporaneamente (o 3 in sequenza senza reinserimento, se preferite)

Spazio campionario: C(N; 3) (numero di sottoinsiemi di 3 palline)
Dimensione dello spazio di eventi 'NON VINCO' : C(N-n; 3) (numero di sottoinsiemi di 3 palline PRESE DALLE PALLINE 'SFIGATE')

quindi prob vincita = 1- C(N-n; 3) /C(N; 3)
Oppure posso trovare lo stesso risultato utilizzando una ipergeometrica.

Ora, la domanda è la seguente:

Se il padrone dell'urna assegna a ciascuna pallina non più esattamente 3 palline, ma un certo numero variabile ed incognito, e io so solo che il NUMERO MEDIO di palline associate è m, che non è necessariamente un numero intero, come posso procedere?
Posso usare la stessa formula trovata per m=3?

(ovviamente è una approssimazione, dato che non so nulla della legge che associa la pallina estratta alle altre, so solo che mediamente ogni pallina estratta viene associata ad altre m)

Qualche idea?

Grazie!

[jordan]

Le regole della lotteria ora sono:
estrai una pallina, guarda le palline associate, ed in base a quello determina se hai vinto. (Vinco se ALMENO una tra le palline associate coincide con una di quelle 'marcate vincenti')

Quale è la probabilità di vincita?
facile, ipotizzando l'onestà del proprietario dell'urna, è come estrarre 3 palline contemporaneamente (o 3 in sequenza senza reinserimento, se preferite)

Spazio campionario: C(N; 3) (numero di sottoinsiemi di 3 palline)
Dimensione dello spazio di eventi 'NON VINCO' : C(N-n; 3) (numero di sottoinsiemi di 3 palline PRESE DALLE PALLINE 'SFIGATE')

quindi prob vincita = 1- C(N-n; 3) /C(N; 3)

supponi che le palline siano $ N $ e le vincenti $ n<N $. wlog possiamo numerare le palline da 1 a N in modo che quelle in [1,n] siano vincenti e quelle in (n,N] perdenti. abbiamo come ipotesi che ad ogni pallina $ i \in [1,n] $ associamo le tre palline $ \phi_1{(i)}, \phi_2{(i)}, \phi_3{(i)} \in [1,N] $, a coppie distinte.
nulla ci vieta quindi di porre $ \phi_1{(i)}=1, \phi_2{(i)}=2, \phi_3{(i)}=3 \forall i \in [1,n] $; in questo modo se pesco la terna $ (n-2,n-1,n) \in N^3 $, seppur ognuna vincente non soddisfo l'ipotesi di vittoria sopra detta e in tal (particolare) caso la probabilità diverrebbe $ \frac{3N-8}{\binom{N}{3}} $.
puoi anche aggiungere l'ipotesi che le terne associate siano distinte: inquesto caso potremmo porre
I) $ \phi_1{(i)}=1, \phi_2{(i)}=2, \phi_3{(i)}=2+i, \forall i \in [1,n-1) $
II) $ \phi_1{(n-1)}=\phi_1{(n)}=2 $
III)$ \phi_2{(n-1)}=\phi_2{(n)}=3 $
IV) $ \phi_3{(n-1)}=4, \phi_3{(n)}=5 $
in questo (altro particolare) caso la probabilità verrebbe ad ogni modo minore di $ 1-\frac{\binom{N-n}{3}}{\binom{N}{3}} $

aggiungendoci ora anche che supponi di conoscere solo la media di associazioni di $ AM\{\phi_{j}{(i)}\}=m $, non credo ci sia una formula tanto elementare per rispondere al quesito..(nn voglio fare il puntiglioso ma dovresti anche avere $ m \in Q^+ $)

spero di aver compreso male il problema

[giulia.sim]

Le regole della lotteria ora sono:
estrai una pallina, guarda le palline associate, ed in base a quello determina se hai vinto. (Vinco se ALMENO una tra le palline associate coincide con una di quelle 'marcate vincenti')

Quale è la probabilità di vincita?
facile, ipotizzando l'onestà del proprietario dell'urna, è come estrarre 3 palline contemporaneamente (o 3 in sequenza senza reinserimento, se preferite)

Spazio campionario: C(N; 3) (numero di sottoinsiemi di 3 palline)
Dimensione dello spazio di eventi 'NON VINCO' : C(N-n; 3) (numero di sottoinsiemi di 3 palline PRESE DALLE PALLINE 'SFIGATE')

quindi prob vincita = 1- C(N-n; 3) /C(N; 3)

Innanzitutto, grazie molte per la tua risposta!

supponi che le palline siano $ N $ e le vincenti $ n<N $. wlog possiamo numerare le palline da 1 a N in modo che quelle in [1,n] siano vincenti e quelle in (n,N] perdenti. abbiamo come ipotesi che ad ogni pallina $ i \in [1,n] $ associamo le tre palline $ \phi_1{(i)}, \phi_2{(i)}, \phi_3{(i)} \in [1,N] $, a coppie distinte.
nulla ci vieta quindi di porre $ \phi_1{(i)}=1, \phi_2{(i)}=2, \phi_3{(i)}=3 \forall i \in [1,n] $; in questo modo se pesco la terna $ (n-2,n-1,n) \in N^3 $, seppur ognuna vincente non soddisfo l'ipotesi di vittoria sopra detta e in tal (particolare) caso la probabilità diverrebbe $ \frac{3N-8}{\binom{N}{3}} $.

e no! fancedo così, vinco per tutte le estrazioni $ i\in [1, n] $
Invece nella mia 'lotteria', data una pallina i ne estrai altre 3

-effettua una singola estrazione (non mi è chiaro cosa intendi quando dici 'in questo modo se pesco la terna' ...)
-data l'estrazione, guarda quali sono le $ \phi_1, \phi_2, \phi_3 $ associate
- se almeno una fra $ \phi_1, \phi_2, \phi_3 $ rientra in [1,n] hai vinto

puoi anche aggiungere l'ipotesi che le terne associate siano distinte: inquesto caso potremmo porre
I) $ \phi_1{(i)}=1, \phi_2{(i)}=2, \phi_3{(i)}=2+i, \forall i \in [1,n-1) $

qui non ti seguo:
con $ \phi_1{(i)}, \phi_2{(i)}, \phi_3{(i)} $
intendi la terna di palline associate alla pallina estratta? se si, la pallina estratta è $ i\in [1, N] $

...
aggiungendoci ora anche che supponi di conoscere solo la media di associazioni di $ AM\{\phi_{j}{(i)}\}=m $, non credo ci sia una formula tanto elementare per rispondere al quesito..(nn voglio fare il puntiglioso ma dovresti anche avere $ m \in Q^+ $)

spero di aver compreso male il problema

ci ragiono un po su



... mi accontento anche di una approssimazione...


Grazie!
[/tex]

[jordan]

cerco di definire il problema (dimmi se sbaglio):

" siano date $ N $ palline in un'urna, di cui contrassegnamo $ n\le N $ vincenti. prendiamo adesso un'altra urna in cui ci sono $ N $ foglietti con su scritti alcuni numeri (almeno uno) che indicano il numero delle palline nella prima urna. sappiamo che se nell'i-esimo foglietto vengono indicati esattamente $ a_i>0 $ interi tra 1 e N . definiamo il razionale $ m = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{a_i} $.
essendo solo a conoscenza di $ m $ qual è la probabilità che se estraggo un foglietto ci sia almeno un numero di una pallina vincente?"

premetto che nel post prima avevo capito tutt'altro (ammettendo adesso di aver capito )
i valori che $ m $ puo assumere sono tutti i razionali della forma $ \frac{a}{N} \text{ con } a \in [N, N^2] $, direi per ovvie ragioni.
notiamo che se avessimo avuto come ipotesi che in ogni foglietto siano scritti esattamente $ k $ interi tra 1 e N allora potevamo concludere facilmente che: $ \displaystyle p=1-\frac{\binom{N-n}{k}}{\binom{N}{k}}, \forall (k < N-m) \text{ ,se } N-n<k<N \implies p=1 $.
nel caso in esame le questioni si complicano notevolmente..

mi accontento anche di una approssimazione

ti prendo in parola, $ 0 << n << N $ .
vogliamo definire la funzione probabilità negli $ N^2 $ valori assunti da $ m=\frac{a}{N}, a \in[N,N^2] $: se a=N significa che su ogni foglietto è scritto esattamente un numero, quindi $ p=p(a)=p(N)=\frac{n}{N} $.
se $ a=N+1 $ allora su unsolo foglietto ci saranno due numeri, e la probabilità diverrebbe $ \displaystyle p(N+1)=\frac{n(N-1)}{N^2}+\frac{1}{N}(1-\frac{\binom{N-n}{2}}{\binom{N}{2}}) $. (lascio allettore la giustificazione..
analogamentesi puo ricavare che:
$ p(N+2)=\frac{\binom{N}{2}}{\binom{N}{2}+N}(\frac{n(N-2)}{N^2}+\frac{2}{N}(1-\frac{\binom{N-n}{2}}{\binom{N}{2}}))+ $$ \frac{N}{\binom{N}{2}+N}(\frac{n(N-1)}{N^2}+\frac{1}{N}(1-\frac{\binom{N-n}{3}}{\binom{N}{3}})) $ (e credo sia giusta visto che ci ho perso un'ora della lezione di matefin).
non credo quindi esiste una formula semplice per $ p(a) $, possiamo pero ammettere che per $ a \equiv 0 \pmod n $ la probabilità sia una buona approssimazione (ci si rende subito conto che quella semplice probabilità è un po maggiore di quella effettiva).
inoltre $ p(N^2)=p(N^2-1)=1 $.
Riassumiamo:
sia $ p $ una funzione da $ \frac{a}{N}, a \in[N,N^2] $ in $ [0,1] \in Q $ allora:
i) p è strettamente crescente
ii) $ p(N)=\frac{n}{N} $
iii) $ p(kn) -> 1-\frac{\binom{N-n}{k}}{\binom{N}{k}} se k<N-n $
iv) $ p(kn) -> 1 se k> N-n $
v) $ p(N^2)=1 $

questo è il massimo che sono riuscito a fare

[giulia.sim]

cerco di definire il problema (dimmi se sbaglio):

analogamentesi puo ricavare che:
$ p(N+2)=\frac{\binom{N}{2}}{\binom{N}{2}+N}(\frac{n(N-2)}{N^2}+\frac{2}{N}(1-\frac{\binom{N-n}{2}}{\binom{N}{2}}))+ $$ \frac{N}{\binom{N}{2}+N}(\frac{n(N-1)}{N^2}+\frac{1}{N}(1-\frac{\binom{N-n}{3}}{\binom{N}{3}})) $ (e credo sia giusta visto che ci ho perso un'ora della lezione di matefin).

mi sento un po in colpa....

Grazie molte per l'aiuto,
cerco di ragionarci un po su, magari vedo con qualche simulazione numerica se l'approssimazione è troppo grossolana.

Tanto per complicare le cose (non ci facciamo mancare nulla!) potrei avere anche
a_i=0, quindi $ [tex] $ a \in[0,N^2] [\tex]

Grazie! a presto
Giulia