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una calcolatrice è rotta, e solo alcuni tasti funzionano ancora, precisamente $ sin $, $ cos $, $ tan $, $ arctan $, $ arcsin $, $ arcos $. inizialmente il display segna il numero 0. sapendo che tutte le funzioni sono in termini di radianti, mostrare che per ogni $ q \in Q $ esiste una sequenza finita di tasti che porta a $ q $.

partedo da 0 cos di 0 è 1.
1.una sequenza di $ \dispaystyle x, \arctan , \sin , \arccos, \tan $ genera $ \dispaystyle \frac{1}{x} $
2.una sequenza di $ \dispaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}, \arctan, \sin $ genera $ \dispaystyle \frac{1}{\sqrt{x+1}} $
3.una sequenza di $ \dispaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}, \arctan, \cos $ genera $ \dispaystyle \sqrt{\frac{x}{x+1}} $.
4.utilizzando più volte la 3. da $ \dispaystyle \frac{1}{\sqrt{x}} $ si può ottenere $ \displaystyle k + \frac{1}{\sqrt{x}} $ con k intero.

Ogni numero razionale può essere scritto sotto forma di frazione continua ( basta sommare il primo resto con 1 fratto il secondo e così via) quindi si possono ottenere tutti i razionali, anzi si possono ottenere anche tutte le radici quadrate dei razionali

p.s. io non odio trigonometria eh!