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In un lago ci sono N pesci. Vogliamo stimare N.
Andiamo a pescare.
Al primo lancio pesco k pesci. Li marco colorando loro la coda e poi li ributto in acqua (vivi!!). N>k
Al secondo lancio pesco r pesci, di cui m sono marcati e ovviamente r-m no. N>r.

Siano k,r,m noti.
Qual è la probabilità che nella seconda pescata ne ho r marcati?
(osservazione: la probabilità appartiene all'insieme 0,1,2....min{k,r})

Siamo in grado di stimare N? (suggerimento.. prendiamo come N la probabilità massima....)

Dopo il primo lancio, io ho nel lago k pesci marcati ed N-k pesci non marcati; la probabilità di pescarne uno marcato vale $ \frac{k}{N} $; se al secondo lancio pesco r pesci, la probabilità generica di averne un numero x marcati vale:

$ P(x) = \frac{r!}{x! \cdot (r-x)!} \cdot ({\frac{k}{N}})^x \cdot ({1- \frac{k}{N}})^{r-x} $

mentre la probabilità di averne r marcati si ottiene sostituendo alla x la r nella formula e cioè:

$ P(r) = (\frac{k}{N})^r $

Come si vede questa probabilità dipende da N, quindi se vogliamo calcolarla ci serve prima rispondere al secondo quesito; cioè dobbiamo provare a stimare N.
Per farlo dobbiamo assumere che il campione r, scelto nella popolazione N, sia sufficientemente rappresentativo di quella popolazione; in quel caso, la proporzione di pesci marcati nella seconda pescata, che vale $ \frac{m}{r} $, è uguale alla probabilità di osservare m pesci marcati in un campione r, che è calcolabile a priori con la formula di prima; cioè vale:

$ P(m) = \frac{r!}{m! \cdot (r-m)!} \cdot ({\frac{k}{N}})^m \cdot ({1- \frac{k}{N}})^{r-m} = \frac{m}{r} $

Visto che nella formula N è l'unica incognita, possiamo ricavare il suo valore una volta sostituiti gli altri e una volta ricavato risolviamo anche il rpimo quesito.