OliForum Matematico

Trovare il punto P in un triangolo ABC tale che sia massimo il prodotto fra PL, PM e PN dove M, N ed L sono rispettivamente i piedi delle perpendicolari tracciate da P ad AB, BC ed AC

ps: il problema e di facile risoluzione, quindi GABRIEL NN LO BRUCIARE DOPO 2 SECONDI E LASCIA PROVARE ANCHE AGLI ALTRI Se poi nessuno si interessa al problema ( cosa probabile ) potrai attaccarlo

Dunque, chiamiamo x,y,z rispettivamente PM,PN,PL.
Quindi ax+by+cz è il doppio dell'area ed è costante.
Per AM-GM avremo che
$ \sqrt[3]{ax \cdot by \cdot cz} \leq \frac{ax+by+cz}{3} $
E quindi
$ xyz \leq \frac{\left( \frac{2}{3} S \right) ^3}{abc} $, che è una costante.
L'uguaglianza vale se e solo se
$ ax=by=cz $ ovvero nel caso del baricentro.

direi che ci siamo! ( gabriel si merita un applauso: e riuscito a contenersi )