OliForum Matematico

Trovare tutti gli interi positivi $ d $ tali che $ d\vert n^2+1 $ e $ d\vert (n+1)^2+1 $ per qualche intero $ n $.

For beginners

Vediamo se le video lezioni del Prof. Gobbino sono servite a qualcosa

$ d|n^2+1 $ (1)
$ d|(n+1)^2 +1 \Rightarrow d|n^2+2n+2 $ (2)

Se d divide (1) e (2) allora divide la loro differenza $ \Rightarrow d|2n +1 $ (3), e la loro differenza moltiplicata per 2 $ \Rightarrow d|4n +2 $ (4)

Se d divide (3) allora divide il suo quadrato$ \Rightarrow d|4n^2 +4n +1 $ (5)

Se d divide (2) allora la divide anche moltiplicata per 4 $ \Rightarrow d|4n^2+8n+8 $(6)

Se d divide (5) e (6) allora divide la loro differenza $ \Rightarrow d|4n+7 $ (7)

Se d divide (4) e (7) allora divide la loro differenza $ \Rightarrow d|5 $

Quindi d=1 oppure d=5

*scusate i troppi passaggi ma mi serviva ordine mentale *

Provo un piccolo dispiacere per un topic ucciso dopo appena 13 visite, comunque okk!

EUCLA ha scritto:Provo un piccolo dispiacere per un topic ucciso dopo appena 13 visite, comunque okk!

Mi sono lasciato prendere la mano

Nono... c'è un bell'errore logico di fondo

Hai dimostrato che SE d soddisfa quella roba per qualche n ALLORA d è 1 oppure 5.
Quindi i possibili candidati sono 1 e 5.
Ma prima di dire che le soluzioni sono 1 e 5, devi fare vedere che per ciascuno di loro esiste effettivamente un n che li fa funzionare.

Per 5 non ci dovrebbero essere problemi.
Per 1 ci sto lavorando su... se qualcuno fa progressi mi dica.

(per il resto però la dimostrazione è scritta bene, bravo!)

edriv ha scritto:Nono... c'è un bell'errore logico di fondo

Hai dimostrato che SE d soddisfa quella roba per qualche n ALLORA d è 1 oppure 5.
Quindi i possibili candidati sono 1 e 5.
Ma prima di dire che le soluzioni sono 1 e 5, devi fare vedere che per ciascuno di loro esiste effettivamente un n che li fa funzionare.

Per 5 non ci dovrebbero essere problemi.
Per 1 ci sto lavorando su... se qualcuno fa progressi mi dica.

Azz, speravo non se ne accorgesse nessuno

edriv ha scritto: (per il resto però la dimostrazione è scritta bene, bravo!)

Grazie

edriv ha scritto: Per 1 ci sto lavorando su... se qualcuno fa progressi mi dica.

Sesshoumaru ha scritto:Azz, speravo non se ne accorgesse nessuno

Infatti io c'ero caduta in pieno!

Cercate un n per cui 1|(n^2 +1) e 1|(n+1)^2 +1 ????

Sì esatto hai colto il problema

No su, edriv è solo particolarmente spiritoso oggi