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Chi mi aiuta a risolvere questo esercizio?

Sia n intero. Trovare il massimo valore di:
$ d = MCD(n^2+n+6, n^2+5n) $

Grazie...

dai ti dò l'incipit (la tecnica è stata usata anche da un'altro utente sempre in tdn)

osservato che
$ \displaystyle n^{2}+n+6 $

non è scomponibile in R
e
$ \displaystyle n^{2}+5n $
ha come uniche radici $ \displaystyle 0 $ e $ \displaystyle -5 $
si abbandona subito l'idea della scomposizione...
A questo punto se ne abbraccia un'altra

poniamo $ \displaystyle d=MCD(n^{2}+n+6,n^{2}+5n) $

$ \displaystyle \\ d|n^{2}+n+6 \\ d|n^{2}+5n $

allora necessariamente $ \diplaystyle d $diveide la differenza

$ \displaystyle \\ d|6-4n \\ d|2(3-2n) $
Pertanto sarà sicuramente
$ \displaystyle MCD(n^{2}+n+6,n^{2}+5n)=2 \cdot qualcosa... $
Continua te...

Ops.... Ho sbagliato a postare....
l'esercizio diceva di trovare il massimo di
$ d = MCD(n^2+n-6,n^2+5) $
Con la sostanziale differenza che $ n^2+n-6 = (n-2)(n+3) $

cmq provo lo stesso a risolvere questo...

$ MCD(n^2+n+6,n^2+5n) = MCD(n^2+5n, 4n-6)= 2\cdotMCD(2n^2+10n,2n-3) $
Che credo sia la risposta al tuo 2*qualcosa....
Questo perchè se ho MCD(x,2y), posso moltiplicare x per un fattore 2 e quindi contare un fattore 2 fuori dal mcd:
$ MCD(x,2y) = 2\cdot MCD(2x,y) $. Giusto????
allora possiamo dire:

$ 2\cdot MCD(2n-3,2n^2+10n)= $
$ = 2\cdot MCD(2n-3,2n^2+10n-2n^2+3n) = 2\cdot (2n-3,13n)= $
$ = 26\cdot(13(2n-3),n)= 26\cdot(26n-39,n)= $
$ = 26 \cdot(n,-39)= 1014(39n,1)= 1014 $


in realtà non sono molto sicuro del metodo che ho applicato... anzi diciamo per niente...
Ammesso che sia giusto, per quale n d=1014... Ho trovato (un pò a caso...)per n=99 d = 78... Ma manca un fattore 39

[edit:] ho corretto un pò il latex. Se ci sono altri errori fatemi sapere

ti spiacerebbe correggere gli errori di latex?
lo farei anche io ma adesso ho poco tempo...
suggerimento...per la moltiplicazione invece di usa l'istruzione

antosecret ha scritto:Ops.... Ho sbagliato a postare....
l'esercizio diceva di trovare il massimo di
$ d = MCD(n^2+n-6,n^2+5) $
Con la sostanziale differenza che $ n^2+n-6 = (n-2)(n+3) $

cmq provo lo stesso a risolvere questo...

$ MCD(n^2+n+6,n^2+5n) = MCD(n^2+5n, 4n-6)= 2*MCD(2n^2+10n,2n-3) $
Che credo sia la risposta al tuo 2*qualcosa....
Questo perchè se ho MCD(x,2y), posso moltiplicare x per un fattore 2 e quindi contare un fattore 2 fuori dal mcd:
MCD(x,2y) = 2MCD(2x,y). Giusto????
allora possiamo dire:

$ 2*MCD(2n-3,2n^2+10n)= $
$ = 2*MCD(2n-3,2n^2+10n-2n^2+3n) = 2*(2n-3,13n)= $
$ =26*(13(2n-3),n)= 26*(26n-39,n)=26*(n,-39)= 1014(39n,1)= 1014 $


in realtà non sono molto sicuro del metodo che ho applicato... anzi diciamo per niente...
Ammesso che sia giusto, per quale n d=1014... Ho trovato (un pò a caso...)per n=99 d = 78... Ma manca un fattore 39

Guarda io ho risolto così:

$ d | n^2+n-6 $(1)
$ d | n^2+5 $
ma quindi d divide anche la differenza
$ d | n-11 $
d divide anche il quadrato di quest'ultimo
$ d | n^2-22n+121 $
d divide anche la differenza tra questo e la (1)
$ d | -23n+127 $
ora a questo sottraiamo -23 volte n-11
$ d | 126 $

quindi il massimo teorico è 126, se poniamo $ n -11 = 126 $ vediamo (con qualche conticino ) che soddisfa le ipotesi, quindi ok 126 è il massimo.

x agi90: anche io ho risolto il primo problema in modo simile al tuo:
(sottointendo MCD davanti alle parentesi)

$ \displaystile (n^2+n-6,n^2+5)=(n^2+5, n-11)= $
$ =(n-11, 11n+5)=(n-11, 126) $

Ora, questo mcd è massimo quando n-11 = 126 poichè (x,x)=x

Per quanto riguarda questo metodo sono abbastanza certo:
infatti è noto che $ MCD(a,b) = MCD(a,b+ka) $
----------------

Per quanto riguarda invece l'altro problema:
$ MCD(n^2+n+6,n^2+5n) $
non sono per niente convinto... sto ancora cercando di capire se posso sicrivere
$ MCD(a,kb) = k\cdot MCD(ka,b) $....[/quote]
x angus89: Qual'è il metodo di risoluzione per scomposizione a cui ti riferivi????