OliForum Matematico

dimostrare che
$ \displaystyle $ a \equiv b \pmod{k \cdot n} $
implica
$ \displaystyle $ a^{k} \equiv b^{k} \pmod{k^{2} \cdot n} $

boz fintanto che i problemi si possono fare...

dall'ipotesi abbiamo $ a = cnk + b $ con c intero opportuno
eleviamo tutto alla k
$ a^k = (cnk + b)^k $
usiamo newton per sviluppare la potenza:
$ \displaystyle a^k = \sum_{i = 0}^k\binom{k}{i}(cnk)^ib^{k-i} $
estraiamo i primi due addendi della somma:
$ \displaystyle a^k = \binom{k}{0}b^k + \binom{k}{1} cnkb^{k-1}+ \sum_{i = 2}^k\binom{k}{i}(cnk)^ib^{k-i} $
dalla definizione troviamo che $ \displaystyle \binom{k}{1} = $$ \displaystyle \frac{k!}{1!(k-1)!} = k $. e sappiamo che $ \displaystyle \binom{k}{0} = 1 $ per qualsiasi k intero.
Inoltre si vede che possiamo mettere in evidenza un $ nk^2 $ in quanto l'esponente di k nella somma è al minimo 2 (e anche della n è al minimo 1). riscriviamo quindi come:
$ \displaystyle a^k = b^k + nk^2\left(cb^{k-1} + \sum_{i = 2}^kc^in^{i-1}k^{i-2}b^{k-i}\right) $
che è esattamente $ a^k = b^k +nk^2d $ che è quello che volevamo.[]

Agi_90 ha scritto:boz fintanto che i problemi si possono fare...

Che bello essere bruciato sul tempo mentre cerchi i simboli di LaTeX più adatti

Ale90 ha scritto:

Agi_90 ha scritto:boz fintanto che i problemi si possono fare...

Che bello essere bruciato sul tempo mentre cerchi i simboli di LaTeX più adatti

me l'immaginavo una cosa simile infatti ho postato alla buona e ora stavo sistemando XD

Bè che dire...
Buona a Agi_90...
Avevo messo il problema perchè speravo ci fosse una soluzione più veloce...
La mia è molto simile a quella...
Da qui mi nasce un dubbio...(glossario)

Se permettete un po' di ritardo...

Dimostrare che $ a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+...+b^{k-1}) \equiv 0 \pmod {k^2n} $ equivale a dimostrare che $ a^{k-1}+a^{k-2}b+...+b^{k-1}\equiv 0 \pmod {k} $
Per ipotesi $ a\equiv b \pmod{k} $. Sostituiamo e abbiamo $ a^{k-1}+a^{k-1}+...+a^{k-1}=ka^{k-1}\equiv 0 \pmod {k} $