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Arrivare (con qualsiasi ragionamento) alla formula dell'area del cerchio...
NB E' lecito utilizzare tutto tranne il calcolo integrale...

Beh, se accetti che i poligoni inscritti e circoscritti tendono al cerchio, la loro area tende alla sua e poi è una questione di limiti trigonometrici.
Cmq, il problema è che pi greco deve essere definito da qualcosa ... come lunghezza della circonferenza? come limite di qualche cosa? come integrale? scegli tu ... partendo da lì si può parlare dell'area del cerchio.

una soluzione sentita da un fisico
prendiamo il nostro cerchio e suddividiamolo in N fette
e disponiamo queste in modo che formano una striscia delimitata
dagli archi della circonferenza.
Con N->§ (infinito) avremmo un rettangolo di altezza il raggio
e di base semicirconferenza.
Quindi l'area è R*P/2. Ma come ha detto EvaristeG dobbiamo introdurre il p-greco

EvaristeG ha scritto:Beh, se accetti che i poligoni inscritti e circoscritti tendono al cerchio, la loro area tende alla sua e poi è una questione di limiti trigonometrici.
Cmq, il problema è che pi greco deve essere definito da qualcosa ... come lunghezza della circonferenza? come limite di qualche cosa? come integrale? scegli tu ... partendo da lì si può parlare dell'area del cerchio.

Bè ci siamo...
In effetti l'idea è quella...
Magari vederla sviluppata...
Io l'ho trovato un esercizio originale...(non dico come l'ho sviluppata)
Effettivamente si può ricorrere al concetto di limite (bel quesito...si può o si deve?)...
Comunque l'idea di hoja nasredin l'ho capita poco a dir la verità...

L'idea di hoja nasredin è quella "classica" per questo problema(posso tentare di illustrarla, se qualcuno ne ha bisogno); ora però vorrei mostrarne una decisamente più "eretica"...
Dunque, partiamo dall'idea di dividere il cerchio di partenza (di raggio r) in tante (diciamo, con molta fantasia, N) coroncine circolari di raggio uguale (e quindi pari a $ \displaystyle \frac rN $) . Se numero tali corone partendo da quella centrale verso quelle esterne, la t-esima avrà circonferenza interna (spero di essere chiaro: intendo la lunghezza della circonferenza interna alla corona) $ \displaystyle 2\pi\cdot t\frac rN $ e raggio esterno (vedi sopra) $ \displaystyle 2\pi \cdot(t+1) \frac rN=\pi\cdot \left(t\frac rN+\frac rN) $. Posso quindi "stirare" il cerchio in tanti trapezi che posso poi ricomporre in un triangolo (perché la differenza tra la base maggiore e quella minore di un qualsiasi trapezio è costante): questo triangolo avrà logicamente raggio r e base pari alla base maggiore della corona più grande, cioè pari alla circonferenza esterna, cioè pari a $ \displaystyle 2\pi r $.
L'area del triangolo (che con ardito volo concettuale posso considerare pari a quella del cerchio) sarà quindi $ \displaystyle A=\frac {base \cdot altezza}{2}=\pi r^2 $.

Non metto il classico CVD alla fine di questo pistolotto perché non so come lo si possa considerare una dimostrazione: spero solo che il tutto sia abbastanza convincente (chiaro direi proprio di no).
Non massacratemi per la trasandatezza concettuale (o per eventuali effetti da colpo di sonno)...

Buonanotte
Ob

Ho notato che il metodo delle fette comunque è sostanzialmente il calcolo integrale, anche se non esplicito