2x^4+1=y^2
2x^4+1=y^2
Trovare le coppie $ (x,y) $ con $ x,y \in \mathbb{N} $ tali che $ 2x^4+1=y^2 $.
premetto che questa soluzione mi è venuta senza che mi sia fatto troppe domande...pertanto non sò fino a che punto possa esser giusta...
inanzitutto parto dalla traccia
$ \displaystyle \\ 2x^{4}+1=y^{2} $
Dalla stessa traccia capiamo subito che $ \displaystyle y^2 $ è dispari, pertanto $ \displaystyle y $ è dispari
allora
riscrivo e faccio i passaggi
$ \displaystyle \\ 2x^{4}+1=y^{2} \\ 2x^{4}=y^{2}-1 \\ 2x^{4}=(y+1) \cdot (y-1) $
con qualche lemma possiamo affermare di poter ottenere un numero pari dalla moltiplicazione di due numeri pari o di un numero pari e uno dispari...
Pertanto osserviamo che essendo $ \displaystyle y $ dispari
$ \displaystyle y+1 $e $ \displaystyle y-1 $ sono entrambi pari
detto ciò, $ \displaystyle x^{4} $ è pari, pertanto$ \displaystyle x $è pari
Va bè...a questo punto riscrivo tutto i un altro modo e ottengo
$ \displaystyle 2 \cdot {(2x_{1})}^{4}=(y+1) \cdot (y-1) \\ $
ponendo $ \displaystyle x_{2}={x_{1}}^{2} $
miglioro ancora un pò la forma per far notare che
$ \displaystyle \frac{(y+1) \cdot (y-1)}{2^{5}}={x_{2}}^{2} $
E con qualche altro lemma sarebbe possibile affermare che un quadrato si ha solo dalla moltiplicazione di numeri uguali oppure dalla moltiplicazione di qudrati...
Da qui avanti con un pò di casistica...
$ \displaystyle \\ \begin{cases} y+1=2^{2}a^{2}\\ y-1=2^{3}b^{2}\\ \end{cases} \\ \\ \begin{cases} y+1=2^{3}a^{2}\\ y-1=2^{2}b^{2}\\ \end{cases} \\ \\ \begin{cases} y+1=2^{4}a^{2}\\ y-1=2b^{2}\\ \end{cases} \\ \\ \begin{cases} y+1=2a^{2}\\ y-1=2^{4}b^{2}\\ \end{cases} $
E va bè...ora devo andare a pranzare...ma mi sembra la strada giusta dato che si dimostra che alcuni casi non hanno soluzioni in N
Dato che non sono andato avanti...vorrei sapere da EUCLA se la strada è giusta o se mi sto dilungando troppo...o magari è semplicemente una strada sbagliata per il problema...
inanzitutto parto dalla traccia
$ \displaystyle \\ 2x^{4}+1=y^{2} $
Dalla stessa traccia capiamo subito che $ \displaystyle y^2 $ è dispari, pertanto $ \displaystyle y $ è dispari
allora
riscrivo e faccio i passaggi
$ \displaystyle \\ 2x^{4}+1=y^{2} \\ 2x^{4}=y^{2}-1 \\ 2x^{4}=(y+1) \cdot (y-1) $
con qualche lemma possiamo affermare di poter ottenere un numero pari dalla moltiplicazione di due numeri pari o di un numero pari e uno dispari...
Pertanto osserviamo che essendo $ \displaystyle y $ dispari
$ \displaystyle y+1 $e $ \displaystyle y-1 $ sono entrambi pari
detto ciò, $ \displaystyle x^{4} $ è pari, pertanto$ \displaystyle x $è pari
Va bè...a questo punto riscrivo tutto i un altro modo e ottengo
$ \displaystyle 2 \cdot {(2x_{1})}^{4}=(y+1) \cdot (y-1) \\ $
ponendo $ \displaystyle x_{2}={x_{1}}^{2} $
miglioro ancora un pò la forma per far notare che
$ \displaystyle \frac{(y+1) \cdot (y-1)}{2^{5}}={x_{2}}^{2} $
E con qualche altro lemma sarebbe possibile affermare che un quadrato si ha solo dalla moltiplicazione di numeri uguali oppure dalla moltiplicazione di qudrati...
Da qui avanti con un pò di casistica...
$ \displaystyle \\ \begin{cases} y+1=2^{2}a^{2}\\ y-1=2^{3}b^{2}\\ \end{cases} \\ \\ \begin{cases} y+1=2^{3}a^{2}\\ y-1=2^{2}b^{2}\\ \end{cases} \\ \\ \begin{cases} y+1=2^{4}a^{2}\\ y-1=2b^{2}\\ \end{cases} \\ \\ \begin{cases} y+1=2a^{2}\\ y-1=2^{4}b^{2}\\ \end{cases} $
E va bè...ora devo andare a pranzare...ma mi sembra la strada giusta dato che si dimostra che alcuni casi non hanno soluzioni in N
Dato che non sono andato avanti...vorrei sapere da EUCLA se la strada è giusta o se mi sto dilungando troppo...o magari è semplicemente una strada sbagliata per il problema...
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
Se stai dicendo in generale che un quadrato si ottiene solo dal prodotto di due numeri uguali, o dal prodotto di due quadrati è falso, ripensaciangus89 ha scritto:
E con qualche altro lemma sarebbe possibile affermare che un quadrato si ha solo dalla moltiplicazione di numeri uguali oppure dalla moltiplicazione di qudrati...
Casomai, per riferirti al problema, potresti fare delle considerazioni sull'MCD$ (y+1,y-1) $.
Però eri partito bene dai, continua da dopo la considerazione sui quadrati
ACHTUNG!angus89 ha scritto:E con qualche altro lemma sarebbe possibile affermare che un quadrato si ha solo dalla moltiplicazione di numeri uguali oppure dalla moltiplicazione di qudrati...
54 e 24 non sono nè uguali nè quadrati: eppure $ 54\cdot 24=1296=36^2 $
EDIT: perdendo tempo a cercare achtung sul dizionario, mi sono fatto superare da eucla!
Riparto da
[...]
ponendo $ \displaystyle x_{2}={x_{1}}^{2} $
miglioro ancora un pò la forma per far notare che
$ \displaystyle \frac{(y+1) \cdot (y-1)}{2^{5}}={x_{2}}^{2} $
A questo punto seguendo i consigli e Eucla faccio
$ \displaystyle MCD(y+1,y-1)=2 $
Ciò implica $ \displaystyle 2|y+1 $ e $ \displaystyle 2|y-1 $ (e questo lo sapevamo già prima)
Ma al tempo stesso implica che
$ \displaystyle 2^{3}|y+1 $ oppure $ \displaystyle 2^{3}|y-1 $
Mah a questo punto dovrei pensarci...e forse anche parecchio...
(peccato abbia da studiare per domani)...
Bè magari qualcuno potrebbe continuare da lì...
[...]
ponendo $ \displaystyle x_{2}={x_{1}}^{2} $
miglioro ancora un pò la forma per far notare che
$ \displaystyle \frac{(y+1) \cdot (y-1)}{2^{5}}={x_{2}}^{2} $
A questo punto seguendo i consigli e Eucla faccio
$ \displaystyle MCD(y+1,y-1)=2 $
Ciò implica $ \displaystyle 2|y+1 $ e $ \displaystyle 2|y-1 $ (e questo lo sapevamo già prima)
Ma al tempo stesso implica che
$ \displaystyle 2^{3}|y+1 $ oppure $ \displaystyle 2^{3}|y-1 $
Mah a questo punto dovrei pensarci...e forse anche parecchio...
(peccato abbia da studiare per domani)...
Bè magari qualcuno potrebbe continuare da lì...
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
Credo che il suggerimento di eucla andasse in questa direzione:
supponiamo di sapere che $ ab=c^2 $; questo cosa ci dice di a e b? che sono quadrati? no di certo, come dice il controesempio di julio.
Però, ragioniamo.
Sia $ p $ un primo che divide $ c $; supponiamo che esso compaia con esponenti $ \alpha $ e $ \beta $ nelle fattorizzazioni di $ a $ e $ b $, ovvero che $ p^\alpha\|a $ e $ p^\beta\|b $ ($ \| $ vuol dire "divide esattamente").
Allora, per forza, $ \alpha+\beta $ è pari. Se però uno dei due è nullo, l'altro è pari ... quindi i primi che non compaiono in entrambi i fattori a e b devono comparire in uno solo con esponente pari.
Se dunque $ (a,b)=1 $, cosa vuol dire? Che ogni primo di c compare o in a o in b ma non in entrambi e vi compare con esponente pari. Dunque sia a che b hanno solo esponenti pari nella fattorizzazione, quindi sono quadrati.
In generale, se $ (a,b)=d $ cosa possiamo concludere?
supponiamo di sapere che $ ab=c^2 $; questo cosa ci dice di a e b? che sono quadrati? no di certo, come dice il controesempio di julio.
Però, ragioniamo.
Sia $ p $ un primo che divide $ c $; supponiamo che esso compaia con esponenti $ \alpha $ e $ \beta $ nelle fattorizzazioni di $ a $ e $ b $, ovvero che $ p^\alpha\|a $ e $ p^\beta\|b $ ($ \| $ vuol dire "divide esattamente").
Allora, per forza, $ \alpha+\beta $ è pari. Se però uno dei due è nullo, l'altro è pari ... quindi i primi che non compaiono in entrambi i fattori a e b devono comparire in uno solo con esponente pari.
Se dunque $ (a,b)=1 $, cosa vuol dire? Che ogni primo di c compare o in a o in b ma non in entrambi e vi compare con esponente pari. Dunque sia a che b hanno solo esponenti pari nella fattorizzazione, quindi sono quadrati.
In generale, se $ (a,b)=d $ cosa possiamo concludere?
ho sparato prima una cavolata e l'ho cancellata...Evariste ha scritto:Credo che il suggerimento di eucla andasse in questa direzione:
supponiamo di sapere che $ \displaystyle ab=c^2 $; questo cosa ci dice di a e b? che sono quadrati? no di certo, come dice il controesempio di julio.
Però, ragioniamo.
Sia $ \displaystyle p $ un primo che divide $ \displaystyle c $; supponiamo che esso compaia con esponenti $ \displaystyle \alpha $ e $ \displaystyle \beta $ nelle fattorizzazioni di $ \displaystyle a $ e $ \displaystyle b $, ovvero che $ \displaystyle p^\alpha\|a $ e $ \displaystyle p^\beta\|b $ ($ \displaystyle \| $ vuol dire "divide esattamente").
Allora, per forza, $ \displaystyle \alpha+\beta $ è pari. Se però uno dei due è nullo, l'altro è pari ... quindi i primi che non compaiono in entrambi i fattori a e b devono comparire in uno solo con esponente pari.
Se dunque $ \displaystyle (a,b)=1 $, cosa vuol dire? Che ogni primo di c compare o in a o in b ma non in entrambi e vi compare con esponente pari. Dunque sia a che b hanno solo esponenti pari nella fattorizzazione, quindi sono quadrati.
In generale, se $ \displaystyle (a,b)=d $ cosa possiamo concludere?
non sò cosa succede???
Comunque grazie della spiegazione...effettivamente...
Ultima modifica di angus89 il 25 mar 2008, 17:10, modificato 1 volta in totale.
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
seguendo evariste posso dire che (nel nostro caso)
MCD(y+1,y-1)=2
Allora dividendo
y+1 per 2 e y-1 per 2 ottengo due numeri comprimi la cui scomposizione prevede primi con potenze pari...
Ma da qui alla soluzione...ce ne vuole...
MCD(y+1,y-1)=2
Allora dividendo
y+1 per 2 e y-1 per 2 ottengo due numeri comprimi la cui scomposizione prevede primi con potenze pari...
Ma da qui alla soluzione...ce ne vuole...
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
Io mi riferivo a quello che diceva Evariste su $ ab=c^2 $, e credo anche Angus, cmq una cosa è certa: non ho iniziato a confordermi, sono nella confusione più totale
Andando avanti a furia di considerazioni sull'MCD et similia ho fatto un bel po' di sostituzioni, col risultato che ora non sono in un vicolo cieco ma in due o tre vicoli ciechi
Andando avanti a furia di considerazioni sull'MCD et similia ho fatto un bel po' di sostituzioni, col risultato che ora non sono in un vicolo cieco ma in due o tre vicoli ciechi
Una affermazione così ardita andrebbe dimostrata per benino... Quali sono questi potenti lemmi che ti permettono di dire una cosa così complicata?angus89 ha scritto: con qualche lemma possiamo affermare di poter ottenere un numero pari dalla moltiplicazione di due numeri pari o di un numero pari e uno dispari...
