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per ogni numero reale x e ogni positino n provare che vale:

$ \displaystyle \left | \sum_{k=1}^n \frac{\sin{kx}}{k} \right | \le 2\sqrt{\pi} $

[non conosco la soluzione ma sono certo che non sia delle più semplici ]

Una soluzione per nulla elementare. Supponiamo $ n $ pari (non c'è nessun problema con $ n $ dispari, solo si evita di disseminare parti intere).

$ \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{\sin(kx)}{k}=\sum_{k=0}^{n \backslash 2}\frac{\sin[(2k+1)x]}{2k+1}+\sum_{k=1}^{n \backslash 2}\frac{\sin[(2k)x]}{2k} $.

Riconosciamo nella prima sommatoria il troncamento al termine $ \frac{n}{2} $ della serie di Fourier della funzione così definita su $ [0, 2 \pi[ $:

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{rcc} \frac{\pi}{4} & \mbox{se} & x \in ]0, \pi[\\ -\frac{\pi}{4} & \mbox{se} & x \in ]\pi, 2\pi[\\ 0 & \mbox{se} & x=0, \pi \end{array} \right. $

La seconda sommatoria invece è il troncamento della serie di Fourier di


$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{rcc} -\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} & \mbox{se} & x \in ]0, 2\pi[\\ 0 & \mbox{se} & x=0 \end{array} \right. $

Dunque la sommatoria converge, al crescere di $ n $ e su $ [0, 2\pi[ $, a

$ \displaystyle f(x)=- \frac{x- \pi}{2} $,

il cui valore massimo è assunto nell'origine ed è pari a $ \displaystyle \frac{\pi}{2} $.

Tuttavia le serie di Fourier presentano uno strano comportamento nei pressi delle discontinuità, noto come fenomeno di Gibbs.
Questo fenomeno risulta però quantificabile nel seguente modo: l'"overshoot" della serie di Fourier vicino a una discontinuità non eccede il limite (destro o sinistro) della funzione cui la serie converge, aumentato della metà di un numero, noto come costante di Wilbraham-Gibbs. Nel nostro caso, l'errore non eccede

$ \displaystyle \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\int_0^{\pi} \frac{\sin t }{t} \mathrm{d}t $,

dunque la disuguaglianza risulta verificata.