OliForum Matematico

Semplice fatto noto, per principianti:

Dimostrare che tra due quadrati perfetti consecutivi c'è sempre un primo.

ci provo
sia dato l'insieme N
$ \displaystyle N:{1,2,...,a^{2},...,b^{2},...} $

Bene...vogliamo dimostrare che tra $ \displaystyle a^2 $ e $ \displaystyle b^2 $ c'è almeno un numero primo

Poniamo $ \displaystyle a^{2} $ come il prodotto di tutti i numeri primi da 1 ad a elevati al quadrato...
pertanto scomponendo in fattori primi otteniamo
$ \displaystyle a^{2}={p_{1}}^{2} \cdot {p_{2}}^{2} \cdot ... \cdot {p_{n}}^{2} $

Pertanto se non ci sono primi tra a e b, scomponendo in fattori primi $ \displaystyle b^2 $ otteniamo
$ \displaystyle b^{2}={{p_{1}}^{2}}^{a} \cdot {{p_{2}}^{2}}^{b} \cdot ... \cdot {{p_{n}}^{2}}^{c} $

E naturalmente si dimostra utilizzando la solita dimostrazione sull'infinità dei numeri primi che è impossibile scomporre$ \displaystyle b^{2}-1 $ se non ammettiamo che tra $ \displaystyle a^{2} $ e $ \displaystyle b^{2} $ non vi sono fattori primi...

(son consapevole del fatto che non sia completa, ma oggi ho pochissimo tempo, magari ci torno stasera o magari qualcuno può partire di qui e generalizzare)

Complimenti:hai appena vinto la medaglia Field...

angus89 ha scritto: Poniamo $ \displaystyle a^{2} $ come il prodotto di tutti i numeri primi da 1 ad a elevati al quadrato...

urgh, forse che 49 è divisibile per 5?

salva90 ha scritto:

angus89 ha scritto: Poniamo $ \displaystyle a^{2} $ come il prodotto di tutti i numeri primi da 1 ad a elevati al quadrato...

urgh, forse che 49 è divisibile per 5?

no forse non hai capito la dimostrazione...cosa c'entra quello che dici te?
Io dico semplicemente che se prendiamo un numero a che risulta essere il prodotto di tutti i numeri primi che lo precedono ed eleviamo al quadrato, il quadrato successivo nella seguenza N sarà necessariamente preceduto da un numero primo...prova a rileggere ora che ho spiegato in modo diverso...

angus89 ha scritto:Io dico semplicemente che se prendiamo un numero a che risulta essere il prodotto di tutti i numeri primi che lo precedono ed eleviamo al quadrato, il quadrato successivo nella seguenza N sarà necessariamente preceduto da un numero primo..

Beh in effetti dal falso si può dedurre qualsiasi cosa.

il fatto è che non esiste un numero che sia divisibile per tutti i primi minori di esso (ad eccezione di 2), semplicemente perchè (a,a-1)=1

cosi', tanto per riscrivere qualcosa in $ ~\LaTeX $ e farmi 2 conti carini

supponiamo che esista, allora per costruzione ($ $a>2$ $)
$ $a>2^n$ $ con $ $n\approx \frac{a}{\ln a}$ $, quindi
$ $(\ln{a})^2>a\ln{2}$ $ che non e' mai possibile con queste ipotesi



Posto $ $\alpha>\frac{1}{e}$ $, $ $x^\alpha>\ln{x} \land \alpha x >\ln{x} \;\forall x>0$ $

Cari sqrt2 e pic88, che ne dite di un po' di educazione?
A parte che la medaglia è la Fields ...
Comunque, postare problemi di cui non si conosce la soluzione è abbastanza antipatico, soprattutto quando non lo si segnala. Se poi il problema è ufficialmente aperto, non mi sembra proprio carino.
C'è modo e modo di far notare a qualcuno che ha sbagliato e non credo che nessuno di voi sia l'incarnazione della sapienza matematica su questa terra, quindi abbiate la cortesia e l'umiltà di non prendere per i fondelli chi prova ad affrontare un problema (per di più proditoriamente postato come esercizio) ed eventualmente sbaglia.

Sam... forse non te ne sei accorto ma questo problema voleva essere un pesce d'aprile

Temo che quello di sqrt2 fosse un pesce d'aprile, e credevo che l'equivoco si sarebbe risolto in breve. Poi c'è stato l'intervento di Salva90, che ha comunque spiegato perché quella soluzione non andava bene, ed è stato anche abbastanza tempestivo, quindi credo che angus89 non abbia fatto in tempo ad offendersi.

uh, divertente...no, ma tanto, eh ... giuro ...

Scusate, non era mia intenzione offendere nessuno, ma era un PESCE D'APRILE, cosi' come l'altro mio post del primo aprile , che e' una riformulazione dell'ipotesi di Riemann.
In effetti non ho neppure letto la dimostrazione di Angus89, ma gli ho risposto cosi pensando che si accorgesse dello scherzo: e' un problema aperto, forse degno di una medaglia Fields.