OliForum Matematico

Siano a,b,c 3 reali positivi soddisfacenti la condizione:
$ \displaystyle \frac{1}{1+a^2} +\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}=2 $
Dimostrare che risulta:
$ \displaystyle ab+bc+ca \le \frac{3}{2} $
karl

Iniziamo da questo:

$ \displaystyle \frac{3}{\frac{1}{1+a^2} +\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}} \le \frac{a^2+b^2+c^2+3}{3} $
da cui
$ \displaystyle a^2+b^2+c^2 \ge \frac{3}{2} $

(scritto eresie da qui...)

@Alex89
C'è un passaggio che non convince.
Hai scritto che :
$ \displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge \frac{1}{2} $
e poi che :
$ \displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge (\frac{a+b+c}{3})^2 $
Ma da queste due relazioni non scaturisce necessariamente che :
$ \displaystyle\frac{1}{2} \ge (\frac{a+b+c}{3})^2 $
Come dire che da A>=B ,A>=C non viene per forza B>=C
karl

Forse qualcuno (uno o due ) sarà curioso di sapere la soluzione.Ed allora ecco la mia .
Poniamo :
$ \displaystyle \frac{1}{1+a^2}=x,\frac{1}{1+b^2}=y,\frac{1}{1+c^2}=z $ ,
con $ \displaystyle 0<x,y,z<1 $
In tal modo,una volta ricavati a,b,c dalle precedenti eguaglianze,le due relazioni date diventano:
$ \displaystyle x+y+z=2 $
(A) $ \displaystyle \sqrt{\frac{(1-x)(1-y)}{xy}} $$ \displaystyle+\sqrt{\frac{(1-y)(1-z)}{yz}}+\sqrt{\frac{(1-z)(1-x)}{zx}} \le\frac{3}{2} $
Per le ipotesi fatte, x,y e z si possono interpretare come i lati di un triangolo di perimetro =2
in quanto è x+y=2-z e 2-z è maggiore di z (ed altre analoghe).
Pertanto la (A) , per note formule di trigonometria,si può anche scrivere come:
$ \displaystyle \sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\le\frac{3}{2} $
Quest'ultima è una ineguaglianza conosciuta che si può risolvere con Jensen:
$ \displaystyle LHS\le 3\sin\frac{\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}}{3} $$ \displaystyle =3\sin\frac{\pi}{6}=\frac{3}{2} $
karl