wulf ha scritto:no asp,ma come facciamo a sapere ke ESISTE una legge ke associ ad ogni numero naturale n l'n-imo numero primo?
Il concetto di "legge" è abbastanza vuoto.
In alcuni libri di testo delle superiori, ad esempio, si trova scritto che una funzione è una legge che, dati due insiemi A e B, associa ad ogni elemento del primo uno e un solo elemento del secondo. Il concetto di "legge" non viene però spiegato.
Una definizione che si basa sulla teoria degli insiemi invece recita (più o meno):
"Dati due insiemi A e B, una funzione da A in B è un insieme di coppie ordinate $ {(a,b)} $ appartenenti al prodotto cartesiano $ A \times B $ e tale che per ogni $ x \in A $ esiste in quell'insieme una ed una sola coppia della forma $ (x,b) $ con b appartenente a B."
In pratica, secondo tale definizione, una funzione è il suo grafico.
Per quanto ne so, a questa definizione di funzione si è arrivati dopo un po', nel senso che un tempo i matematici consideravano "funzioni" solamente quelle cose a cui avevano dato un nome: seno, coseno, esponenziale, polinomi e così via; insomma, cose per cui esistesse una formula.
Veniamo alle successioni. Una successione in X è semplicemente una funzione da N in X, ove N è l'insieme dei naturali.
Vi sono tanti modi di descrivere una successione; uno di questi è darne formula esplicita. Esempio banale: la funzione f : $ x \to 2 x $, definita su N, individua la successione dei numeri pari.
Un altro modo è la ricorsione. Esempio: i numeri di Fibonacci sono definiti con
F(0)=F(1)=1, ed F(n)=F(n-1)+F(n-2) per n>1.
Nota che da quella definizione puoi ricavarti gli altri numeri, ma non è così istantaneo: prima di conoscere F(20), dovrai aver calcolato F(18)+F(19), almeno in genere è così. Dico "in genere", perché nel caso dei numeri di FIbonacci esiste una "formula chiusa", ossia una formula tipo quella dell'esempio precedente, che permette di calcolare direttamente l'n-esimo numero di Fibonacci.
Detto questo, se per funzione intendi quella cosa definita sopra, allora è chiaro che esiste una funzione da N all'insieme dei primi che ad n associa l'n-esimo numero primo (così come ne esiste una che ad n associa l'età dell'n-esimo tizio dell'esempio di julio14). Da qui a trovare una formula, però...
Non è assolutamente detto che per ogni successione esista una formula chiusa; se è quella che cerchi per i primi allora ti posso dire che, sempre a quanto so io, non è neppure più un obiettivo dei matematici trovare una cosa del genere, nel senso che ultimamente (cioè negli ultimi due secoli) lla ricerca è più indirizzata a capire come i primi si distribuiscono. Comunque su questo forum la maggior parte degli utenti sa queste cose meglio di me quindi confida nel fatto che qualcun altro interverrà.
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hydro grazie ancora