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Valori per un polinomio divisibile in N-{0}
Inviato: 05 apr 2008, 18:33
da angus89
Si determinino gli interi positivi k tali che il polinomio
$ \displaystyle P(x)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+kx^{2}+x+1 $
Sia prodotto di polinomi a coefficienti interi di grado minore di cinque
Inviato: 05 apr 2008, 21:31
da julio14
Considero due casi: tra i fattori c'è un binomio di primo grado, o sono due polinomi non scomponibili di 2 e 3.
1 caso:
il binomio è x+1 o x-1, per ruffini vedo che la radice 1 dà k negativo mentre -1 dà k=1. Quindi abbiamo per k=1 P(x)=(x+1)(qualcosa che non mi importa).
2. caso:
abbiamo $ (x^3+ax^2+bx\pm 1)(x^2+cx\pm 1) $
altri 2 casi: termini noti =+/-1.
2a)+1: perchè i coefficienti dei termini di primo e terzo grado di P(x) siano =1 devono essere ab+c+1=1 e a+c=1, sostituisco c=1-a
$ $a(b-1)=-1\rightarrow a=\frac{1}{1-b}\rightarrow b=0\rightarrow a=1\rightarrow c=0 $
quindi ancora due calcoli e trovo di nuovo k=1.
2b)-1: sempre stessa storia, ab+c-1=1 e -a-c=1-->c=-a-1
$ $a(b-1)=3\rightarrow a=\frac{3}{b-1}\rightarrow b=2\vee b=4 $
da cui ricavo delle k negative, senza scrivere qua troppi conti.
Ah tra l'altro ho dimenticato di dire che potevo dividere per (b-1) in entrambi i casi perchè b=1 dava comunque un assurdo.
Inviato: 05 apr 2008, 22:32
da angus89
bè...
giusto...
non sò se ci sono altri modi per risolvere...