Relazioni di equivalenza e non solo!
Inviato: 05 apr 2008, 19:38
1. L’insieme {Ai : i appartiene I} costituisce una partizione dell’insieme A se l'unione degli Ai per gli i che appartengono ad I è uguale ad A e, se i diversi da j, allora l'intersezione di Ai e Aj è l'insieme vuoto.
Data la partizione {Ai : i appartiene I} di A, definiamo la reazione ~ su A tramite: a ~ b se e solo se a e b appartengono allo stesso elemento della partizione, cioè esiste un indice i appartenente ad I tale che a, b appartengono ad Ai.
Dimostrare che ~ è una relazione di equivalenza.
2. Dare un esempio di operazione o relazione nell’insieme dei razionali che NON sia ben
definita.
3. Usando la definizione di campo ordinato dimostrare che l’elemento neutro per la
somma è unico.
4. Dimostrare con un controesempio che la coppia (xn), (yn) di successioni di Cauchy
corrispondente ad una sezione (X, Y ) in base alla Proposizione 1.6 non è unica.
Proposizione 1.6
Data una sezione (X, Y ) in Q, esistono due successioni (xn) e (yn) diCauchy tali che, per ogni n appartenente ad N, xn appartenente ad X, yn appartenente ad Y , e yn − xn =1/n
Data la partizione {Ai : i appartiene I} di A, definiamo la reazione ~ su A tramite: a ~ b se e solo se a e b appartengono allo stesso elemento della partizione, cioè esiste un indice i appartenente ad I tale che a, b appartengono ad Ai.
Dimostrare che ~ è una relazione di equivalenza.
2. Dare un esempio di operazione o relazione nell’insieme dei razionali che NON sia ben
definita.
3. Usando la definizione di campo ordinato dimostrare che l’elemento neutro per la
somma è unico.
4. Dimostrare con un controesempio che la coppia (xn), (yn) di successioni di Cauchy
corrispondente ad una sezione (X, Y ) in base alla Proposizione 1.6 non è unica.
Proposizione 1.6
Data una sezione (X, Y ) in Q, esistono due successioni (xn) e (yn) diCauchy tali che, per ogni n appartenente ad N, xn appartenente ad X, yn appartenente ad Y , e yn − xn =1/n