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Calcolare in forma chiusa

$ \displaystyle f(n)=\sum_{k} \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]B_k $,

dove $ \displaystyle \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right] $ è un numero di Stirling del primo tipo, $ \displaystyle B_k $ è un numero di Bernoulli.

$ \displaystyle \sum_{k} \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]B_k = (-1)^n \frac{n!}{n+1} $

Per nota di cronaca, i numeri di Bernoulli sono definiti come le derivate della funzione $ \frac{z}{e^z-1} $ in z=0, in modo che
$ \displaystyle \sum_{n=0}^\infty B_n \frac{z^n}{n!}=\frac{z}{e^z-1} $.
I numeri di Stirling del primo tipo $ \left[\frac{n}{k}\right] $ invece sono definiti come il numero di permutazioni di $ \{1,\dotsc,n\} $ che si decompongono come prodotto di esattamente k cicli disgiunti (un punto fisso conta come un ciclo).
Forse elgiovo sta leggendo Generatingfunctionology?

FrancescoVeneziano ha scritto:Forse elgiovo sta leggendo Generatingfunctionology?

Secondo il Generatingfunctionology fa $ \displaystyle -\frac{(n-1)!}{n+1} $, probabilmente ho sbagliato un conto. Boh.

Ah no, ho capito: esistono almeno due definizioni di numeri di Stirling del primo tipo. Quella che ha dato FrancescoVeneziano e che usa Generatingfunctionology, ed un'altra che uso io, Wikipedia, Mathworld, Planetmath, etc. La relazione fra le due è

$ \displaystyle \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]_1 = (-1)^{n+k}\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]_2 $.

In pratica, secondo la notazione di FrancescoVeneziano, io ho calcolato

$ \displaystyle \sum_{k} (-1)^{n+k}\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]B_k $,

ed il mio calcolo era in effetti giusto.

FrancescoVeneziano ha scritto: Forse elgiovo sta leggendo Generatingfunctionology?

Si si, proprio lui (l'ho già letto e archiviato, ma ho un debole per quel libro e ogni tanto lo... resuscito).
Ciao.