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Un Cilindro di densità omogenea di raggio $ R $ e massa $ M $ è fermo al centro di un tappeto quadrato di lato $ l $ e di massa $ m $ (il cilindro è messo in modo che possa iniziare a rotolare se gli do un colpetto). Il tappeto viene tirato con una forza $ F $ orizzontale costante. Si supponga che il cilindro rotoli senza strisciare sul tappeto, e che tra il tappeto e il terreno non ci sia attrito.

Domande:

1) Calcolare le accelerazioni del tappeto e del centro di massa del cilindro. Dipendono dalla forza di gravità? Come mai?

2) Calcolare il tempo che ci mette il cilindro a cadere fuori dal tappeto, e dire se quando cade fuori continua a rotolare senza strisciare oppure striscia sul pavimento (ammettiamo che tra il pavimento e il cilindro ci sia attrito, sebbene non ci sia tra il tappeto e il pavimento)

3) Calcolare il coefficente di attrito minimo che ci deve essere tra il cilindro e il tappeto affinchè il cilindro rotoli senza strisciare. Dipende dalla gravità? Dunque sebbene la risposta 1 non dipenda dalla gravità, il moto è possibile in assenza di gravità?

4) Calcolare le risposte alle prime due domande nel caso in cui l'attrito sia minore di quello necessario affinchè il cilindro non strisci, ad esempio nel caso in cui sia esattamente la metà.

5) Supponendo che il cilindro abbia momento di inerzia (rispetto al centro di massa) $ \alpha MR^2 $, entro che valori può variare $ \alpha $? Studiare i casi limite. I risultati ottenuti sono compatibili con l'intuizione?

6) Supponiamo che il tappeto sia tirato a Velocità costante invece che a Forza costante. Cosa succede in questo caso? Il cilindro all'inizio striscerà oppure no? Il cilindro prima o poi smetterà di strisciare? e da lì in poi cosa succederà?

PS: rotolare senza strisciare significa che: i punti di contatto tra il cilindro e il tappeto, sono fermi rispetto al tappeto.

PPS: ho cambiato "disco" in "cilindro" perchè se no era un equilibrio instabile.

PPPS: prima o poi vi metterò la mia proposta di soluzione...

PPPPS: ho messo cinquantamila richieste che sono un po' tutte uguali e forse noiose...

Questo è il tipo di problemi che odio di più, e spesso tendo a scrivere cose con decisamente poco senso quando provo a risolverli. Se succede anche stavolta (probabile, viste le difficoltà che ho avuto a fare il punto 1!) avvisatemi...

1.)Chiamo $ \displaystyle F_A $ la forza d'attrito che si origina tra tappeto e disco. Nella mia figura, sfortunatamente ho messo F nel verso negativo delle ascisse, e questo inverte probabilmente un buon numero di segni. Per seguire la mia soluzione sarebbe bene che vi facciate un disegno.
Comunque, sul tappeto agiscono le forze $ \displaystyle -F $ (direzione negativa) e $ \displaystyle +F_A $. Perciò:

$ \displaystyle ma_T = -F + F_A $ (equazione 1)

Chiamo P il punto del disco a contatto sul tappeto. Il fatto che questo disco sia fermo rispetto al tappeto, chiamando $ \displaystyle v_C $ la velocità del CDM, $ \displaystyle w $ la velocità angolare del disco intorno al CDM (w positiva in verso orario), $ \displaystyle v_T $ la velocità del tappeto, mi porta ad eguaguagliare la velocità del punto P con la velocità del tappeto:

$ \displaystyle v_C - wR = v_T $
$ \displaystyle a_C = a_T + \alpha R = a_T + \tau R / I $

Dove $ \displaystyle \tau $ è il momento della forza rispetto al centro del disco, ed I il momento di inerzia. Sostituendo $ \displaystyle \tau = R F_A $ e $ \displaystyle I = (1/2) M R^2 $ viene fuori:

$ \displaystyle a_C = a_T + 2 F_A / M $ (equazione 2)

Infine, notando che l'unica forza che agisce sul disco è $ \displaystyle -F_A $, si ha

$ \displaystyle a_C = -F_A / M $ (equazione 3)

Mettendo a sistema le tre equazioni utili, modulo errori stupidi si ricava:

$ \displaystyle a_C = - \frac{F}{3m+M} $
$ \displaystyle a_T = - \frac{3F}{3m+M} $

2.)Per trovare l'accelerazione del tappeto nel sistema del centro di massa, basta fare la differenza tra le due accelerazioni.

$ \displaystyle a_1 = - \frac{2F}{3m+M} $

Lo spazio percorso è $ \displaystyle l/2 $ da cui:

$ \displaystyle \Delta t_1 = \sqrt{\frac{3m+M}{2F} \cdot l} $

In modulo, l'accelerazione del centro di massa è minore di quella del tappeto. Perciò, se il tappeto si muove verso le x negative, la velocità angolare del disco è in senso orario, cioè tale che il punto P si muove verso le x negative sia per la velocità angolare, sia per la velocità complessiva del centro di massa del disco.
Allora, quando P arriva sul pavimento, sicuramente non può essere fermo rispetto al terreno e deve strisciare.

3.)Quando il coefficiente di attrito $ \displaystyle \mu $ è minimo, la forza d'attrito $ \displaystyle F_A $ citata prima è uguale a $ \displaystyle \mu Mg $. Allora, usando quella che avevo chiamato "equazione 3", si ricava:

$ \displaystyle \mu_{min} = \frac{F}{(3m+M)g} $

Questo risultato dipende dalla gravità e mostra che il moto non sarebbe possibile per $ \displaystyle g=0 $ (d'altra parte era intuitivo... se il disco non avesse premuto sul tappeto, sarebbe stato come se non si fossero nemmeno toccati e non si sarebbero influenzati).

4.)In questo caso l'"equazione 2" non è più valida, ma è valida la seguente:

$ \displaystyle F_A = \mu Mg $ (equazione 4)

Che, messa insieme alle altre due e rifacendo i conti per il tempo impiegato, porta ad avere:

$ \displaystyle a_T = \frac{-F+\mu Mg}{m} $
$ \displaystyle a_C = - \mu g $
$ \displaystyle \Delta t = \sqrt{ \frac{ml}{\abs{|-F + \mu (m+M)g|}} } $

Ho calcolato quanto viene per $ \displaystyle \mu = \frac{F}{2(3m+M)g} $, ma non sono risultati belli e non ho voglia di copiarli...

Quando qualcuno lo risolve o luimedesimo ripassa di qua, ditemi se è giusto *_*

Chiedo perdono per l'incompletezza... Mentre lo facevo, le domande sono aumentate! . Le ultime due per il momento aspetto a farle.

Credo sia tutto giusto! Mi vengono gli stessi risultati per i primi 3 punti...il quarto non l'ho provato