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Minimizzare $ $4x^2 + 9y^2 $ sotto le condizioni $ $x, y > 0 $ e$ $ xy^2 = 1 $ .

rispondo piu che altro perche la settimana prossima ho l'esame di matematica finanziaria sull'ottimizzazione vincolata e altra roba..
sia la lagrangiana $ L=4x^2+9y^2-\lambda(xy^2-1) $.
allora per le condizioni di primo ordine sulle derivate parziali:
i)$ xy^2=1 $
ii)$ 18y=\lambda x $
iii)$ 8x=\lambda y^2 $.
mettendo a confronto la ii) e la iii) rispetto a $ \lambda $ e ricavando x dalla i otteniamo che l'unica ternasoluzione del sistema è $ (x,y,\lambda)=(\sqrt[7]{\frac{81}{16}},\sqrt[7]{\frac{4}{9}}, 6\sqrt[7]{\frac{3}{2}}) $.
verifichiamo che questa è proprio la terna di minimo con le condizioni di secondo ordine :la matrice H hessiana 3X3 deve avere la catena dei segni delle matrici NW (che nel nostro caso coincide con la matrice stessa) di segno + per massimo locale e - per minimo locale vincolato.
8 2yt y^2
H= -t 18 -x
y^2 2xy 0 dove t=$ \lambda $
sostituendo si deve verificare che |H|<0 e si ha la tesi.

Soluzione 2: porre $ x=\frac{a}{2}, y=\frac{\sqrt{2}}{3}b $ e applicare QM-GM

jordan ha scritto:Soluzione 2: porre $ x=\frac{a}{2}, y=\frac{\sqrt{2}}{3}b $ e applicare QM-GM

Questa soluzione è più umana

C'è un errore di derivazione nella (ii).

Suggerisco anche un procedimento... semialgebrico.
Introdotta nel piano (xy) l'affinità x'=2x,y'=3y ,il nostro procedimento si riduce
a trovare il minimo di $ \displaystyle z=x'^2+y'^2 $ con la condizione $ \displaystyle x'=\frac{18}{y'^2} $
La prima equazione rappresenta ovviamente un fascio di circonferenze concentriche, di centro l'origine degli assi, e raggio crescente con z.L'altra una sorta di iperbole asintotica agli assi.E' chiaro che il minimo di z si riduce a trovare i punti comuni alla generica circonferenza del fascio e alla pseudo-iperbole che hanno da O distanza minima e ciò avviene (vedi figura) quando tali curve sono tangenti.Eliminando ora y'^2 si ha l'equazione:
(1) $ \displaystyle x'^3-zx'+18=0 $
Per la tangenza questa equazione deve avere una radice almeno doppia o ciò che è lo stesso deve avere qualche radice in comune con la derivata rispetto ad x:
$ \displaystyle 3x'^2-z=0 $
Eliminando $ \displaystyle z=3x'^2 $ e sostituendo nella (1) si ha :
$ \displaystyle x'=\sqrt[3]{9} $
Pertanto il minimo richiesto è :
$ \displaystyle z=3\sqrt[3]{81}=9\sqrt[3]{3} $
Ritornando alle coordinate (x,y) ,con facili calcoli si trova che tale minimo vienne assunto nel punto $ \displaystyle P(\sqrt[3]{\frac{9}{8}},\sqrt[6]{\frac{8}{9}}) $
karl

Mi spiegate se c'è un errore in questa cosa?

Dalla $ x^2y=1 $ ricavo y, lo metto nell'altra e ottengo di minimizzare la funzione:

$ 4x^2 + 9/x $

Con x positivo. Per x che tende a zero o infinito quella funzione tende a infinito, perciò il minimo sarà per qualche valore in mezzo. Più precisamente, derivando la funzione e ponendola uguale a zero si trova come unico valore estremante $ x=(9/8)^{1/3} $ che deve quindi corrispondere al minimo.

Pigkappa ha scritto:Dalla $ x^2y=1 $ ricavo y

Piccola precisazione, era da $ xy^2=1 $, errore comunue involontario visto che poi è sostituito bene..

Pigkappa ha scritto:$ 4x^2 + 9/x $
Con x positivo. Per x che tende a zero o infinito quella funzione tende a infinito, perciò il minimo sarà per qualche valore in mezzo. Più precisamente, derivando la funzione e ponendola uguale a zero si trova come unico valore estremante $ x=(9/8)^{1/3} $ che deve quindi corrispondere al minimo.

fare solo il limite a zero e infinito non significa che la fal minimo, potrebbe benissimo crescere indefinitamente. in alternativa o fai semplici considerazioni sulla funzione derivata osservando il suo segno (come credo che in realtà tu abbia fatto)oppure ti calcoli il valore della derivata seconda nello stesso punto, e vedi se la funzione è convessa..

ad ogni modo, se arrivi a $ 4x^2+\frac{9}{2x}+\frac{9}{2x} $ perchè mai non applicare am-gm?
[ps karl ha ragione nel mio post precedente ci andava $ 18y=2\lambda xy $ nella ii)..l'idea comunque è quella]

jordan ha scritto:fare solo il limite a zero e infinito non significa che la fal minimo, potrebbe benissimo crescere indefinitamente.

Non riesco a capire questa frase...
Io intendevo che la funzione tende a + infinito per x che tende agli estremi dell'intervallo aperto in cui la considero, mentre assume valori finiti al suo interno (dove è dappertutto derivabile e continua), perciò il minimo deve essere all'interno e deve essere un punto in cui si annulla la derivata.

mm, se aggiungi che ha valori interni finiti, che è derivabile e continua(e non ammette quindi altre discontinuità) allora credo proprio che funzioni..
praticamente cosi dimostri che ammette almeno un minimo, e studiando la derivata trovi un solo estremante che coincide proprio con il punto cercato giusto?
(premetto che non sono nè voglio sembrare un esperto di analisi )

jordan ha scritto:mm, se aggiungi che ha valori interni finiti, che è derivabile e continua(e non ammette quindi altre discontinuità) allora credo proprio che funzioni..
praticamente cosi dimostri che ammette almeno un minimo, e studiando la derivata trovi un solo estremante che coincide proprio con il punto cercato giusto?
(premetto che non sono nè voglio sembrare un esperto di analisi )

Sicuramente ne sapete più voi di me di analisi, visto che so solo quello che abbiamo fatto a scuola (neanche tutto, visto che non sto a sentire) e non me la sono mai studiata sistematicamente da solo. Però questo mi sembrava il metodo più normale, e mi sembrava parecchio più semplice delle cose che avete fatto voi...

Che al suo interno era derivabile, continua, finita eccetera l'avevo dato per scontato, a dire il vero.

Premetto che anche io sono ben lontano dall'essere un esperto di analisi, ma penso si possa anche fare così (fermo restando che la soluzione più semplice è una bella AM-GM pesata...): partendo dalla funzione di Pig, valutiamo f(1)=13 e concludiamo che il minimo è minore o uguale a 13; verifichiamo che se $ x < \frac{1}{100} $ (per dire) si ha $ f(x) =4x^2+9/x > \frac{9}{x} > 900 > 13 $, quindi per $ x < \frac{1}{100} $ non si può avere minimo; similmente, per $ x > 10 $ si ha $ f(x)=4x^2+9/x > 4x^2 > 400 > 13 $ e non si ha minimo; per il teorema di Weierstrass applicato a quella funzione e all'intervallo chiuso $ \left[ \frac{1}{100}, 10 \right] $ sappiamo che in questo intervallo essa ha minimo e massimo, che possono stare (visto che è derivabile) solo agli estremi dell'intervallo o nei punti di annullamento della derivata prima; verificando che i valori agli estremi sono spropositatamente grossi, si conclude.
Rivolgo comunque una preghiera generica a qualche dio o moderatore di passaggio perchè mi straccioni se sto dicendo cose più o meno false!
Ciau!

no no calmi ... allora ...

Cosa vera
Sia $ f:(a,b)\to\mathbb{R} $ una funzione continua e derivabile su (a,b); si supponga inoltre che $ \displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to b}f(x)=+\infty} $. Allora f ammette un minimo assoluto su (a,b) ed esso si trova in un punto y che soddisfa $ f'(y)=0 $.

Perché? beh, la seconda parte è il ben noto fatto che minimi e massimi di una funzione derivabile corrispondono a zeri della derivata (ma non sempre viceversa ... esistono i flessi!).
La prima parte, beh, per poca voglia vi dirò che vi può sembrare ovvio da un disegno e ve lo lascio da dimostrare, ma fatelo in MNE, se proprio dovete.

Nel nostro caso, se f'(x)=0 ha una sola soluzione su (a,b), evidentemente quello deve essere il minimo di f.

dunque, buona per pigk.