OliForum Matematico

Non so se c'entra molto con questo forum, perchè non è proprio un problema di matematica, comunque...
Un amico a scuola mi ha proposto questo enigma:
E' possibile disegnare cinque figure piane (2 dimensioni), in modo che ognuno tocchi tutte e quattro le altre? Le figure possono essere poligoni o curve, non importa...
Io ho tentato ma sempre impossibile, in caso lo fasso, qualcuno mi può spiegare perchè? In caso non fosse impossibile, qualcuno sa darmi una mano?
Grazie a tutti...

PS Si devono toccare in più di un punto, altrimenti è facilissimo...

Beh ti posso dare una dimostrazione, come dire, empirica, ma credo comunque valida.
Disegno la prima figura, intorno ci disegno le altre quattro, ancora disgiunte fra loro. Ora ne collego due opposte: è evidente che comunque io le colleghi divido il piano in due regioni disgiunte contenenti le ultime due figure, che non possono quindi essere collegate.

Il metodo che mi è venuto in mente è: il problema è equivalente a quello di collegare con alcune strade cinque città in modo che ognuna sia collegata a tutte le altre e evitando di costruire incroci o cavalcavia (per visualizzare la cosa, si può far finta che le regioni piane del problema siano nazioni e che le città siano capitali: è intuitivo che se ciascuna nazione ha un tratto di frontiera con ognuna delle altre, basta far passare le strade per i quattro tratti in questione e la mia* "riscrittura" del problema è risolta).
Questo problema è decisamente più facile (secondo me) da mostrare per essere insolubile: basta considerare i vari modi di risolverlo con sole quattro città e poi cercare di aggiungerne una quinta, che risulterà in ogni modo violare i termini del problema.

Come dimostrazione andrebbe un po' "pulita", ma spero si capisca lo stesso.

Saluti.
Ob

*mia per modo di dire, si capisce

Beh, la "dimostrazione" di julio ha bisogno di tanta di quella topologia per essere sistemata che andrebbe diretta in mne (devi iniziare dalla configurazione già completa con 5 stati che per assurdo soddisfino le richieste, sceglierne uno, dimostrare che il suo bordo può essere ripartito a seconda dei confini e dire due stati degli altri 4 opposti se i bordi che loro hanno in comune con il quinto non sono adiacenti lungo il bordo del quinto, poi dimostrare che l'unione di loro tre divide il piano in 2, usando il teorema della curva di Jordan sull'unione dei bordi non comuni...) mentre quella di oblomov fa vedere che se la costruzione fosse possibile, allora si potrebbe disegnare sul piano il grafo completo con 5 vertici (in cui ogni vertice è collegato agli altri), che non è semplicissimo, ma cmq fattibile, con un po' di fatica (e cmq per come lo so io ci vuole cmq una qualche forma del teorema di Jordan).

Io, di mio, avrei detto che se ci fossero 5 regioni piane di questo tipo, il teorema dei 4 colori sarebbe stato falso (bastano 4 colori per colorare una mappa geografica di modo che due stati attigui non abbiano lo stesso colore) ... ma visto che anche questo non è proprio matematica elementare ... (dimostrato negli anni 70 se non sbaglio e con l'aiuto di un computer).

Quindi siamo tutti d'accordo che è impossibile, ma dimostrare perchè è molto difficile e di sicuro va oltre le mie capacità.. giusto?

Allora ... hai capito quello che ha proposto Oblomov?
Prova a riscriverlo per bene e poi guarda qui ... secondo me non è così impossibile che ci arrivi in fondo.