OliForum Matematico

non sono appassionato di queste cose, bo, forse sarà un well-known di chi li fa sempre

allora, guardate qui:
$ 11^2=121 $
$ 111^2=12321 $
$ 1111^2=1234321 $
$ 11111^2=123454321 $
...
avete capito no?
adesso arriva il problema...

sia $ m=(11111....1) $ l'intero positivo che ha esattamente $ n $ cifre 1. siano $ b_1 b_2 b_3 b_4.....b_{k-1} b_k $ le cifre di $ m^2 $ nell'usuale rappresentazione (cioe $ b_i \in \{0,1,..9\}, \forall i \in [1,k] $).
dimostrare che esiste $ n_0 \in N $ tale che per ogni $ n \ge n_0 $ esiste almeno un $ i \in [1,k] $ tale che $ b_i \neq b_{k+1-i} $. trovare inoltre il minimo di $ n_0 $.

se ho capito cosa chiede il problema, la soluzione dovrebbe essere $ n_0=10 $, poichè $ 1.111.111.111^2=1234567900987654321 $, infatti $ b_8=9 $ e $ b_{k-7}=8 $

edit: no, questo dimostra solo che esiste una $ n>n_0 $, non che ogni $ n>n_0 $ rispetta la condizione...

piu che altro mi interessa come lo formalizzi senza dire mai "si vede che"

Provo anche se ho dei dubbi....

sapendo che$ b_k=b_{2n-1} $, chiamo $ b_n $ la cifre centrale di $ m $; ragioniamo su $ m^2 $ come $ m $x $ m $ svolta in colonna:


_______________1111........111111111 x
_______________1111........111111111 =
___________________________________
______________11111........111111111 +
_____________11111.........111111110 +
____________11111..........111111100 +
_____________ .
_____________ .
_____________ .
__11111........1111100000..........000000 +
_111111........1111000000..........000000 = $ m $

La somma della colonna evidenziata è $ n $, che in mod10 da la cifra centrale di $ m $ ($ b_n $).
quindi $ b_{n+1} $ varrà $ n-1 $, e $ b_{n-1} $ varrà $ n-1 $ più le decine che avanzano da $ b_n $.
quindi $ b_{n+1} $ e $ b_{n-1} $ sono uguali solo se le decine di $ b_n $ sono un multiplo di 10, quindi se $ n=100K+c $, con $ k\ge0 $ e $ 10>c\ge0 $ entrambi interi.
La stessa cosa vale per $ b_{n+2} $ e $ b_{n-2} $ fino a $ b_1 $ e $ b_{2n-1} $ , moltiplicando ogni volta per 10,fino ad arrivare a $ n=k10^n+c $

la simmetria è rispettata quando $ n=k10^n+c $
Ma $ n<10^n $ sempre, quindi $ n=k10^n+c $ vera solo per $ k=0 $ e $ c=n $, ma $ c<10 $, quindi per $ n\ge10 $ la simmetria salta.

innanzitutto complimenti per come sei riuscito a mettere in colonna in Latex

Stex19 ha scritto:La somma della colonna evidenziata è $ n $, che in mod10 da la cifra centrale di $ m $ ($ b_n $).

non che voglio fare il puntiglioso ma dovresti prima assicurare che è proprio $ b_n $ la cifra centrale (in altre parole che si hanno esattamente $ n-1 $ cifre sia a destra che a sinistra del tuo $ b_n $)

Stex19 ha scritto:quindi $ b_{n+1} $ varrà $ n-1 $, e $ b_{n-1} $ varrà $ n-1 $ più le decine che avanzano da $ b_n $.
quindi $ b_{n+1} $ e $ b_{n-1} $ sono uguali solo se le decine di $ b_n $ sono un multiplo di 10

direi che $ b_{n-1} $ vale il residuo modulo 10 di $ (n-1)+h $dove $ h $ è il cosiddetto "riporto" che viene da $ b_n $(che a sua volta in teoria potrebbe venire da $ b_{n+1} $ e cosi a scalare..!)
l'osservazione è piu o meno corretta..ma$ b_{n+1} $non avrà a sua volta i riporti di $ b_{n+2} $ e in teoriaanche di tutti i seguenti?

allora, le cifre di m, partendo da sinistra, si ripetono con periodicità 9, esclusa l'ultima che ovviamente è uno, qundi qualsiasi m terminerà così:
....0987654320987654320987654320987654320987654321.
quindi anche il riporto da aggiungere alla cifra a sinistra di ogni $ b_x $ aumenta di 1 ogni 9 cifre, in particolare il riporto agginto alla gifre che da il 2 è maggiore di 1 rispetto a quello dello 0 alla sua destra. (è per questo che l'1 non c'è mai nelle cifre...).

ora riperendiamo il discorso iniziale, partendo dalla cifra centrale di m, confrontiamo la cifre alla sua destra e alla sua sinistra: $ b_{n+k} $ e $ b_{n-k} $.
prima o poi si arriverà a una $ b_{n+k} $ che, come cifra alla su destra (ossia $ b_{n+k+1} $) avrà uno 0, quindi, se chiamiamo $ J $ il riporto di $ b_{n+k+2} $ su $ b_{n+k+1} $ e $ J' $ quello di $ b_{n+k+1} $ su $ b_{n+k} $, $ J+1=J' $.
tutti le cifre tra $ b_{n+k} $ e $ b_{n-k} $ hanno lo stesso riporto $ J' $, senò avremmo già trovato uno "scalino" e un buco nella simmetria del numero.
ma se $ b_{n-k} $ ha come riporto $ J' $, allora $ b_{n-k-1} $ sarà semplicemente uguale a $ b_{n-k}-1 $, mentre $ b_{n+k+1}=b_{n+k}-2 $, per via della differenza tra i riporti.

ovviamente per n=9 vale, perchè non ci sono riporti.

p.s. probabilmente si capisce poco e niente come l'ho scritto ora... ma spiegarlo senza usare numeri o esempi è un po un casino...

be, senza esempi..prima determina quante cifre ha m^2, con qualche disuguaglianza, poi trovi esattamente un i tale che b_i è sempre diverso dal suo simmetrico b_(k+1-i) e il gioco è fatto senza esempi..provare per credere

jordan ha scritto:be, senza esempi..prima determina quante cifre ha m^2, con qualche disuguaglianza, poi trovi esattamente un i tale che b_i è sempre diverso dal suo simmetrico b_(k+1-i) e il gioco è fatto senza esempi..provare per credere

le cifre sono 2n-1, perchè moltipliando in colonna, quando moltiplichi l'ultimo 1 per m ti vengono n "1" seguiti da n-1 "0"

gia avevo detto che servono una cosa lampante no "se si mette in colonna"..la tua soluzione prima era piena di riporti;chi ti dice che non esista un m sufficientemente grande tale che i riporti torni fino alla prima cifra e le cifre totali siano 2n o addirittura di piu?lo so che si vede, ma se ho postato quest'esercizio era piu che altro per far imparare a qualcuno come si scrive una soluzione..

L'avevo scoperta, questa "regolarità" delle potenze dei numeri tipo 11....., diversi anni fa giocando con la calcolatrice.

Provate anche a fare potenze di 33....., 66....., 99..... e vedete cosa succede.