numeri perfetti

[N3o]

Accogliendo il suggerimento di Lucio, sposto qui la discussione sui numeri perfetti.
<BR>lordgauss chiede:
<BR>\"Dimostrare che i numeri della forma
<BR>2^n · (2^(n+1)-1)
<BR>sono perfetti se il secondo fattore è un numero primo\".
<BR>
<BR>Ecco la mia dimostrazione:
<BR>Poiché sia 2 che 2^(n+1)-1 sono numeri primi, 2^n (2^(n+1)-1) è una scomposizione in fattori primi, quindi i divisori del numeri sono solo questi:
<BR>
<BR>1, 2^1, 2^2, 2^3, ..., 2^n,
<BR>2^(n+1)-1, 2^1 (2^(n+1)-1), 2^2 (2^(n+1)-1), ..., 2^n (2^(n+1)-1)
<BR>
<BR>La somma di questi numeri (escluso l\'ultimo), è pertanto:
<BR>
<BR>S(n) + S(n-1)(2^(n+1)-1)
<BR>
<BR>Dove S(n) è una progressione geometrica di ragione 2 fino a 2^n. Poiché S(n) = 2^(n+1)-1, la somma diventa:
<BR>
<BR>2^(n+1) - 1 + (2^n - 1)(2^(n+1) - 1) =
<BR>= (1 + 2^n - 1)(2^(n+1) - 1) =
<BR>= 2^n (2^(n+1) - 1)
<BR>
<BR>Che è proprio il nostro numero, che risulta pertanto essere un numero perfetto.