OliForum Matematico

Si consideri l'esagono convesso ABCDEF inscritto nella
circonferenza di raggio R e lo si divida ,mediante le
diagonali uscenti da un vertice qualsiasi (nella figura si è scelto C), in
4 triangoli. Detti r1,r2,r3,r4 i raggi degli incerchi di tali triangoli,dimostrare che :
la somma r1+r2+r3+r4 è indipendente dal vertice scelto .
In verità si tratta di un mio...antico quesito,mai risolto,messo sul vecchio
forum [Proponi gli esercizi] col titolo "Un teorema...di colore".
viewtopic.php?t=3127
Poiché il teorema vale per qualsiasi poligono convesso inscritto
in una data circonferenza,chi lo dimostra potrà risolvere ...elegantemente
un esercizio proposto alle Olimpiadi cinesi (mi pare ) che recita così:
In the convex quadrilateral ABCD denote by rA, rB, rC and rD the inradii
of triangles BCD, CDA, DAB and ABC, respectively. Prove that the quadrilateral
ABCD is cyclic if and only if rA+rC=rB+rD.
karl
P.S.
I grossi calibri si astengano... almeno per un po'

Il caso $ n=4 $ è già stato proposto qui, poi...induzione

Bene ,Gabriel.Non sapevo che edriv avesse già affrontato la questione.
Io avevo una soluzione che faceva uso del teorema di Carnot ( no,non quello
di trigonometria ! )
Nel caso del problema cinese resterebbe da dimostrare che se è valida
quella relazione allora il quadrilatero è ciclico.
karl