OliForum Matematico

Siano $ a,b $ due primi di almeno due cifre, tali che $ a>b $.

Dimostrare che $ 240|a^4-b^4 $

Bonus question: 240 è il massimo numero con questa proprietà.

dunque

$ 240=16*3*5 $ inoltre, poiché a,b>5 vale $ a^4-b^4\equiv 0\pmod {16} $, $ a^4-b^4\equiv 0\pmod 3 $, $ a^4-b^4\equiv 0\pmod 5 $ quindi per il teorema cinese del resto si conclude.

Inoltre $ 13^4-11^4=240*2*29 $ ma $ 17^4-13^4=240*229 $ (beate calcolatrici ) e si da il caso che $ 29\not \mid 229 $ dunque $ 240 $ è il più grande intero con quelle proprietà.

da mathlink con furore
(sinceramente mi meraviglio di come ce l'abbiano messo in prima pagina poi)

Eddai era facilino, ma istruttivo, se non sbaglio ci dettero un esercizio simile al senior.
Uhm..magari facevo meglio a scriverlo che era facile

pi_greco_quadro ha scritto: poiché a,b>5 vale $ a^4-b^4\equiv 0\pmod {16} $, $ a^4-b^4\equiv 0\pmod 3 $, $ a^4-b^4\equiv 0\pmod 5 $

Ciao,
come si dimostrano quelle relazioni?
Scusate l'incompetenza,
buon 25 Aprile

Se $ a $ è dispari, $ a^4 \equiv 1 \mod 16 $.
Se $ a $ non è multiplo di 3, $ a^4\equiv 1 \mod 3 $.
Se $ a $ non è multiplo di 5, $ a^4 \equiv 1 \mod 5 $.

Grazie mille.
Approfitto per levarmi un dubbio relativo alle congruenze.
Tu dici
$ a^4\equiv1 \mod16 $
ecco, io so che
$ a^8\equiv1 \mod16 $ per Eulero-Fermat, da questo come posso dedurre che
$ a^4\equiv1 $
e non -1?

Scusa il disturbo,
ciao.

fatto noto: una quarta potenza modulo 16 vale o 0 o 1.

lo si dimostra, ad esempio, facendo a mano tutti i casi dispari possibili. i pari è ovvio che fanno 0 [/tex]

Ok, grazie per la risposta
Alla prossima.