OliForum Matematico

Ps iniziale.. per chiunque fosse dell'università di padova, questo problema l'ho risolto.. per quello lo posto..

pps per i mod (specie EvaG ) la soluzione richiede implicitamente l'utilizzo e la conoscenza dei birapporti e delle proiezoni, se ritenete non sia matematica olimpica spostatelo pure in MnE..

A voi il problema.. Sia dato un quadrato di lato L, allora lo si suddivida con la sola riga in 5 rettangoli uguali.. annessa dimostrazione sarebbe gradita, altrimenti un disegno con le idee fondamentali. .

Bonus Question: per quali n una siffatta costruzione è possibile?

ciao ciao

Caro pi_greco_quadro, questo forum è dedicato alle Olimpiadi di Matematica, non alla matematica in generale o ad aiutare studenti in difficoltà.


Ok scusate, ora spero che i mod mi perdoneranno per questo intervento (pi^2 di sicuro no), e posto la parte seria (senza birapporti).

Lemma: date due parallele r ed s e due punti A e B su r, posso costruire il loro punto medio.
Dimo: congiungo A e B con C esterno alla zona racchiusa dalle rette, AB interseca s in D e BC interseca s in E. Allora AE e BD si incontrano in X, e CX interseca r nel medio di AB (basta osservare che i triangoli XEB e XDA hanno la stessa area e stessa altezza, poi applicare talete).

Dal lemma segue che possiamo costruire i punti medi dei lati di tale quadrato, ed anzi anche i punti sui lati che distano 2^(-n) da uno degli estremi; dunque su AB posso prendere Y tale che AY=1/4 e A stia fra Y e B. BC e YD si intersecano in X; allora AX incontra CD in un punto che dista 1/5 da C. quell'1/5 è in effetti il rapporto tra AY e BY.
Da qui in poi è facile.

Tra l'altro da questa soluzione si vede anche come fare il passo induttivo, quindi direi che si può fare la suddivisione per ogni n.