OliForum Matematico

Qualcuno mi spiega (o mi fa vedere una dimostrazione semplice se esiste) xkè se un polinomio a coefficienti reali ha per radice un numero complesso allora ha per radice anche il suo coniugato?????

L'unica cosa che mi è venuta in mente e che dal prodotto di un numero complesso per il suo coniugato la parte immaginaria si semplifica... che è quello che a noi interessa....

E' facile: se tu hai un polinomio nella forma

$ \displaystyle P(z) = \sum_{i=0}^n a_n z^n $

con $ ~a_j\in\mathbb{R} $ per ogni $ ~j=0,\dots n $

e sai che $ ~z $ è una soluzione di $ ~P(z)=0 $, allora coniugando la tua equazione i coefficienti reali restano uguali e ottieni

$ \displaystyle P(\bar{z})= \sum_{i=0}^n a_n \bar{z}^n=0 $

e quindi anche il coniugato di z è soluzione.

Mi dispiace ma nn capisco... Che significa coniugare una equazione???
potresti fare un esempio???

Grazie

Ps: sono fuori città per il week-end, quindi ti risponderò domenica o lunedì....

Fondamentalmente si applicano due proprietà del coniugio che insieme sono veramente potenti:

$ \overline{z_1}+\overline{z_2} = \overline{z_1+z_2} $
$ \overline{z_1}\cdot\overline{z_2} = \overline{z_1\cdot z_2} $

sapendo questo se:

$ \displaystyle P(x) = \sum^n_{i=0} a_nx^n $
$ P(z) = 0 $

allora $ \displaystyle P(\overline{z}) = \sum^n_{i=0} a_n \overline{z}^n = \sum^n_{i=0} \overline{a_nz^n} = \overline{\sum^n_{i=0} a_nz^n} = \overline{0} = 0 $

(che poi è esattamente la stessa cosa che ha detto killing buddha)

come dicevano a me quando l'ho imparato la prima volta, "il coniugio entra dove gli pare"...