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Una distribuzione di carica a simmetria sferica, ma radialmente non uniforme, genera un campo elettrico d'intensità E=K r^4 diretto radialmente verso l'esterno, ove r è la distanza radiale e K una costante. Calcolare la densità volumica "d" della distribuzione di carica.

O se preferite Pag. 541 n° 31 dell' Halliday (edizione 6).

(a me viene la metà del risultato del libro e non capisco il perchè)

Grazie...!!

Non sò come lo hai risolto te...
Ora ti spiego quello che ho capito io...

Abbiamo una sfera carica...
Il campo elettrico che produce è $ \displaystyle E=kr^{4} $.
C'è una cosa da specificare...


Il campo ha quel valore se la distanza a cui mi pongo e minore al raggio $ \displaystyle r $della sfera? (deve per forza esser così...se no cosa succede? più ti allontani e più aumenta il campo?)
In tal caso $ \displaystyle k $ non è una costante...
Se così fosse (almeno questo è quello che faccio sempre io)...
Dato che abbiamo una distribuzione sferica quando studiamo il campo ad una distanza maggiore del raggio $ \displaystyle r $ possiamo con approssimazione considerare la sfera come una carica puntiforme...

A questo punto per una carica puntiforme il campo elettrico è
$ \displaystyle E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{r^{2}} $
Se consideriamo la situazione limite in cui ci poniamo proprio alla distanza $ \displaystyle r $, le espressioni del campo saranno equivalenti, quindi ponendo a sistema
$ \displaystyle \\ \begin{cases} E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{r^{2}}\\ E=kr^{4}\\ \end{cases} $
Poniamo in ugualianza e ci troviamo la carica totale $ \displaystyle Q $
Fatti un pò di calcoli
$ \displaystyle Q=4k \pi \epsilon_{0} r^{6} $
Dividiamo entrambe le parti per il volume della sfera in modo da ottenere la densità di carica
$ \displaystyle $ \rho=\frac{Q}{V} $
$ \displaystyle \rho=3k \epsilon_{0} r^{3} $

Dovrebbe esser così...

La distanza r era intesa minore del raggio della sfera.

Comunque usando la legge di Gauss si poteva fare anche per un caso non limite. Ad ogni modo il risultato è lo stesso, è venuto così anche a me ma la soluzione ufficiale ha il fattore 6 anzichè il 3...

Magari è sbagliato il libro...

altre opinioni???

Il risultato del libro è giusto... Secondo me sbagli ad applicare la legge di Gauss, evidentemente. Riguardo ad Angus89, un errore sta qua:

angus89 ha scritto:Dividiamo entrambe le parti per il volume della sfera in modo da ottenere la densità di carica
$ \displaystyle $ \rho=\frac{Q}{V} $

Brrrr!


[Se non posto la soluzione è perchè: 1)Sicuramente potete riuscirci a farlo e non voglio rovinarvi il problema; 2)Ormai vi ho messo sulla buona strada; 3)Questo problema l'ho già risolto altre volte in questa sezione e se proprio volete vi basta cercare indietro...]

Pigkappa ha scritto:Il risultato del libro è giusto... Secondo me sbagli ad applicare la legge di Gauss, evidentemente. Riguardo ad Angus89, un errore sta qua:

angus89 ha scritto:Dividiamo entrambe le parti per il volume della sfera in modo da ottenere la densità di carica
$ \displaystyle $ \rho=\frac{Q}{V} $

Brrrr!


[Se non posto la soluzione è perchè: 1)Sicuramente potete riuscirci a farlo e non voglio rovinarvi il problema; 2)Ormai vi ho messo sulla buona strada; 3)Questo problema l'ho già risolto altre volte in questa sezione e se proprio volete vi basta cercare indietro...]

lasciamo stare
aperta la caccia all'errore...
(io me ne tiro fuori...dato che che sò qual'è dopo l'illuminazione di Pigkappa)

Ho fatto un errore banale...

Legge di gauss: $ \epsilon_0 K r^4 4 \pi r^2=\epsilon_0 K r^6 4\pi=Q_int $

prendo un guscio infinitesimo di spessore $ dr $. La sua densità di carica sarà:

$ \epsilon_0 K [(r+dr)^6 - r^6] 4 \pi / 4 \pi r^2 dr $

Risolvo e semplifico i termini col dr e ottendo il risultato corretto.

[ok, ho aggiustato un po' di casini di scrittura..grazie Gabriel!]

qualche consigno per il LaTeX:
se vuoi scrivere una lettera greca mettici un \ davanti per fare la linea di frazione genera $ \frac{CiAo}{CAio}=1 $

Grazie! Però non riesco a scrivere la parentesi graffa..(.Alt +Ctrl +Shift+ [ )
non funziona...

pi ha scritto:Grazie! Però non riesco a scrivere la parentesi graffa..(.Alt +Ctrl +Shift+ [ )
non funziona...

anche se dovrebbe andare il LATEX....scusate l'off topic...
tieni premuto Alt e premi in sequenza 1 2 3 ed esce parentesi graffa aperta...per chiuderla tieni premuto Alt e premi in sequenza 1 2 5

[/tex]Non funzionaaaaa!! Ok, basta che gli amministratori si arrabbiano$ [tex] $

[ot]shift+altgr+[
questo ed altri consigli utili li ho trovati all'inizio qua viewtopic.php?t=4256 [/ot]

angus89 ha scritto:tieni premuto Alt e premi in sequenza 1 2 3 ed esce parentesi graffa aperta...per chiuderla tieni premuto Alt e premi in sequenza 1 2 5

Ha dimenticato di specificare che i numeri sono da digitare sul tastierino numerico.

/OT ricorda sempre il teorema di Sormani (memedesimo): moltiplica o dividi sempre per 2 il risultato che trovi!

Grazie ma sono riuscito a risolvere il problema delle graffe.

....e vedrò di tenere a mente il teorema di Sormani (ne esiste anche una dimostrazione?)