Siano $ 3n+1 $ e $ 4n+1 $ entrambi quadrati perfetti. Dimostrare che $ 56\vert n $
Buon lavoro!
E' un pò più difficile rispetto a quelli che posto di solito...
Quadrati, e altro! - 3n+1=a^2, 4n+1=b^2
Alur, abbiamo le due equazioni di partenza, e inoltre sottraendole una all'altra $ $n=b^2-a^2 $.
$ $4n+1\cong 1\vee 5 \mod8; b^2\cong 0\vee1\vee4\mod8\rightarrow 4n\cong0\mod8 $
quindi $ n $ è pari e $ b $ dispari, segue che per $ $n=b^2-a^2 $ anche $ a $ è dispari e $ $a^2\cong 1\mod8 $. Quindi $ $3n\cong0\mod8 $ e $ 8|n $. Rimane il 7.
...
some time later...
...
Ho scritto la soluzione dell'8 e mi sono messo a fare il 7, dopo averci sbattuto la testa per bene inizio a mandare questa parte che non mi va di aver scritto tutto per niente
$ $4n+1\cong 1\vee 5 \mod8; b^2\cong 0\vee1\vee4\mod8\rightarrow 4n\cong0\mod8 $
quindi $ n $ è pari e $ b $ dispari, segue che per $ $n=b^2-a^2 $ anche $ a $ è dispari e $ $a^2\cong 1\mod8 $. Quindi $ $3n\cong0\mod8 $ e $ 8|n $. Rimane il 7.
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Ho scritto la soluzione dell'8 e mi sono messo a fare il 7, dopo averci sbattuto la testa per bene inizio a mandare questa parte che non mi va di aver scritto tutto per niente
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matemark90
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- Località: la città del carnevale (RE)
Dato che mi hanno anticipato per l'8 posto la soluzione per il 7.
Sappiamo che i residui quadratici (mod 7) sono 0,1,2,4.
Si consideri la somma dei due quadrati. $ 3n+1+4n+1=7n+2\equiv2\pmod7 $
Quindi abbiamo 3 possibilità:
$ 3n+1\equiv0\pmod7 $ e $ 4n+1\equiv2\pmod7 $ che è impossibile
$ 3n+1\equiv2\pmod7 $ e $ 4n+1\equiv0\pmod7 $ che è impossibile
$ 3n+1\equiv1\pmod7 $ e $ 4n+1\equiv1\pmod7 $ che è verificato se e sole se n è multiplo di 7
Sappiamo che i residui quadratici (mod 7) sono 0,1,2,4.
Si consideri la somma dei due quadrati. $ 3n+1+4n+1=7n+2\equiv2\pmod7 $
Quindi abbiamo 3 possibilità:
$ 3n+1\equiv0\pmod7 $ e $ 4n+1\equiv2\pmod7 $ che è impossibile
$ 3n+1\equiv2\pmod7 $ e $ 4n+1\equiv0\pmod7 $ che è impossibile
$ 3n+1\equiv1\pmod7 $ e $ 4n+1\equiv1\pmod7 $ che è verificato se e sole se n è multiplo di 7
Hasta la Carla... SIEMPRE!!!
Per tre cose vale la pena di vivere: la matematica, la musica e l'amore.
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