OliForum Matematico

Siano a, b, c numeri reali. Si dimostri che il minimo tra $ \displaystyle (a-b)^2 $, $ \displaystyle (b-c)^2 $, $ \displaystyle (c-a)^2 $ è minore o uguale a

$ \displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{2} $

Wlog $ a \leq b \leq c $. Se scrivo $ a=b-k, b, c=b+j $ (con k e j non negativi) e faccio i conti, scopro che devo dimostrare
$ 2 min(j^2,k^2) \leq 3b^2 -2bk +j^2+k^2+2bj $
Se $ j \geq k $ allora $ RHS \geq 3 \cdot 0 + 2b(j-k) + j^2 + k^2 $$ \geq 0 + 0 + k^2 + k^2 = 2k^2 =2min(j^2,k^2) $
Se invece $ k \geq j $ resta da dimostrare che $ 3b^2+2b(j-k)+(k-j)(k+j) \geq 0 $ per ogni b; per mostrare questo è sufficiente considerarla come una parabola in b e notare che $ \frac{\Delta}{4} = (j-k)(4j+2k) \leq 0 $

Ciau, e buona scrittura delle soluzioni, se ho intuito giusto