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Trovare tutti i primi $ $p $ tali che l'equazione $ $p^n-x^3=y^3 $ abbia soluzioni interi positivi.

allora sappiamo che se esistono soluzioni in cui $ x \equiv 0 \pmod p $ e $ y \equiv 0 \pmod p $ ne esiste una "mattone" in cui x e y sono primi con p. dunque occupiamoci di questo caso $ (x+y)(x^2-xy+y^2)=p^n $ dunque abbiamo che $ x \equiv -y \pmod p $ che implica nell'altra parentesi $ 3x^2 \equiv 0 \pmod p $ dato che abbiamo posto x coprimo con p....si ha p=3 necessariamente: partiamo da questa trovata a mano $ 2^3+1^3=3^2 $ quindi infinite altre si ricavano moltiplicando entrambi i membri per $ 3^{3k} $ con k variabile naturale,se esse sono le uniche esula però dalla richiesta del problema
ora poichè mi è stato detto da più fonti autorevoli che scrivo le soluzioni come un cane...qui darei l'ennesimo esemplare...quindi poichè ora vado di fretta qui ho postato la sostanza...e tra poco posto in una forma presentabile in gara così se qualcuno ha pazienza me la corregge...e se qualcuno mi dà anche conferma della sostanza...gli sono grato

Sfrutto $ n $ per poter ricavare per quali $ p $ vale $ p^n=x^3+y^3 $.

Riscriviamo innanzitutto come: $ p^n=(x+y)(x^2-xy+y^2) $

Caso 1: $ \ n=1 $

Allora poichè per ipotesi su $ x,y $ si ha $ x+y\not =1 $ deve essere $ x^2-xy+y^2=1 $ cioè $ x^3+y^3=x+y $ che dà soluzioni solo per $ x,y=1 $.
Dunque ricavo $ \boxed{p=2} $.

Caso 2: $ \ n>1 $

Sfruttando il fatto che $ p $ è primo, $ x+y\equiv 0 \pmod p $ cioè $ -x\equiv y \pmod p $.
Ma vale anche $ x^2-xy+y^2\equiv 0 \pmod p $ che scritto altrimenti è $ 3x^2 \equiv 0 \pmod p $.

Allora poichè $ x^2-xy+y^2\vert p^n \Rightarrow 3\vert p^n \Rightarrow \boxed{p=3} $.
Si verifica che per $ p=3, n=2, x=2,y=1 $ vale l'uguaglianza.

Scusa Carlein, non avevo visto che avevi risposto..credo di esser stata più di un ora sulla pagina della risposta (mi è venuta a trovare un amica, ho anche fatto merenda.. ), comunque, ad un'occhiata veloce sembra giusta come soluzione (da scrivere come in gara però ) apparte il fatto che lasci fuori $ p=2 $

$ 1^3 +1^3=2^1 $ e n=1 in generale: se ho una dimenticanza così tonta a Cesenatico mi do fuoco...