OliForum Matematico

Dimostrare che dato un qualunque numero primo $ $p $, esistono degli interi positivi $ $x,y,z,w $ che soddisfano $ $x^2+y^2+z^2-wp $ con $ $0<w<p $

mod_2 ha scritto:Dimostrare che dato un qualunque numero primo $ $p $, esistono degli interi positivi $ $x,y,z,w $ che soddisfano $ $x^2+y^2+z^2-wp $ con $ $0<w<p $

uff hai voglia se ne esistono... mi sa che ti sei mangiato mezza tesi..
in attesa...
Ciao!

Ho trovato questo problema su una dispensa che però non mi ricordo più quale, può darsi (anzi sicuramente) che io abbia sbagliato a tradurlo visto le mie scarse capacità in inglese, comunque se non ricordo male la soluzione è abbastanza facile... appena ritrovo il testo lo posto

Che soddisfano ... cosa?? questo è quello che intende Carlein, credo.
Quella che hai scritto tu non è un'equazione: ci manca un uguale.

EvaristeG ha scritto:Che soddisfano ... cosa?? questo è quello che intende Carlein, credo.
Quella che hai scritto tu non è un'equazione: ci manca un uguale.

si ovviamente mi riferivo a quello...

Che sbadato vi chiedo scusa...

(spero che questa volta non dimentico nulla)
Show that given any prime p, there exist integers x; y; z; w satisfying
$ $x^2 + y^2 + z^2 -wp = 0 $ and $ $ 0 < w < p $

Corea Nazionale 2000

Dimostriamo che ogni primo p ha esattamente $ (p-1)/2+1 $ residui quadratici
Poniamo $ x^2 \equiv (x+r)^2 \pmod p $ svolgendo i conti $ r(2x+r) \equiv 0 \pmod p $ poichè p è primo si può usare la legge di annulamento del prodotto $ r\equiv 0 \pmod p $ o $ r \equiv {-2x} \pmod p $ il che significa nell'espressione di partenza $ x^2\equiv {(-x)^2} \pmod p $.Tali congruenze dicono che esistono (p-1) coppie simmetriche(overo (p-1)/2 residui) che hanno residuo quadratico uguale più il caso dei multipli di p. Ora se esistono x e y diversi da 0 tali che $ x^2 \equiv -(y)^2 \pmod p $ allora abbiamo che x,y,0 sono soluzioni dell'equazione, e siamo sicuri che $ x^2+y^2<p^2 $ a causa della simmetria dei residui che implica che possiamo scegliere x e y minori o uguali a (p-1)/2. Ora dunque se non esistono tali x e y sfruttiamo il fatto banale che per ogni p $ 1^2 \equiv 1 \pmod p $ Dunque data tale successione ordinata di residui quadratici S $ 1,a_2.....a_{(p-1)/2} $ effettuando $ 1+1,1+a_2....1+a_{(p-1)/2} $ sicuro dobbiamo avere almeno un nuovo residuo non presente in S, chiamiamolo $ b=a_k+1 $...poichè abbiamo che esso non appartiene ad S, allora per il principio dei cassetti(con (p-1)/2 cassetti) esso sarà in valore assoluto uguale ad un $ a_i $ ma poichè diverso esso sarà di segno opposto rispetto ad $ a_i $ dunque si avrà $ a_i+a_k+1 \equiv 0 \pmod p $ ora abbiamo che per quanto detto prima si può fare in modo di scegliere in modo che x e y siano minori o uguali ad (p-1)/2 e dunque soddisfano tutte le richieste della tesi...mah fatemi sapere se è immacolata, di "sustanza e accidenti" ...in caso contrario: beh brutalizzatemi pure