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In un esercizio mi sono trovato a voler sapere quali sono tutti i polinomi per cui vale
$ p(x) = 8p(2x) $
Intuitivamente la cosa vale solo per il polinomio nullo p(x) = 0, ma nn riesco a formalizzarlo.
Qualcuno mi aiuta???

Ps: ho postato qua perchè mi sembrava troppo semplice per andare in Algebra... spero sia la sezione più giusta, in caso potreste spostarlo???

se ha una radice diversa dallo zero, allora ne ha infinite e dunque è nullo, altrimenti è della forma x^n

pic88 ha scritto:se ha una radice diversa dallo zero, allora ne ha infinite e dunque è nullo, altrimenti è della forma x^n

Mi dispiace ma nn ti seguo... potresti spiegarmelo in modo più semplice per favore???

Va in algebra... in fondo è un esercizio.

Sia $ \alpha $ una radice non nulla del polinomio. Allora $ p(2 \alpha)=\frac{p(\alpha)}{8}=0 $, cioè anche $ 2 \alpha $ è una radice non nulla (e anche distinta da quella di prima). Ma allora $ 4\alpha, 8\alpha, ... 2^k \alpha $ sono radici per ogni k, perciò questo polinomio ha un po' troppe radici (ne ha - se vuoi - infinite) e quindi è il polinomio costantemente nullo.
Qual è il caso che abbiamo escluso? $ \alpha=0 $ (per OGNI radice del polinomio: se ne ha anche solo una non nulla, allora ne ha infinite).
Ma se tutte le sue radici sono 0, allora $ p(x)=b x^n $...

Spero sia più chiaro.

Ciao!

E allora... visti i suggerimenti e gli aiuti di tutti, credo di aver capito e provo a postare una mia dimostrazione.

Dunque, se a x sostituisco una radice a del polinomio ottengo:

$ p(a)=8p(2a) $
$ 0 = 8p(2a) $
$ p(2a)=0 $

Allora anche 2a è una radice del polinomio. Se a x sostituisco 2a ottengo un altra radice del polinomio. Questo procedimento potrebbe andare avanti all'infinito, e siccome non esiste un polinomio con infinite radici devo concludere che questo polinomio non ha alcuna radice.

In questo modo però non considero che se a =0 allora $ a = 2a = 4a =..... $ In questo caso si ha che il polinomio deve essere per forza del tipo $ p(x)= bx^n $.
Allora avremo:
$ bx^n = 8b(2x)^n $
$ bx^n = 8*2^n*bx^n $
$ 8*2^n=1 $ con bx^n diverso da 0

Quindi o bx^n = 0 e cioè il polinomio è nullo oppure n = -3

Ma se n = -3 l'espressione non è più un polinomio (giusto???)
Quindi l'unico polinomio che soddisfa le condizioni è $ p(x)=0 $