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Trovare tutte le terne di numeri interi $ a, b, c $ tali che $ a^2 + b^2 = 3c^2 $

Sta cadendo, sta cadendo ora si schianta.... no non si schianta

P.S. soluzione in firma... che tra l'altro era nata proprio da un esercizio del genere che ho provato a spiegare ad una mia amica, evidentemente senza successo

julio14 ha scritto:Sta cadendo, sta cadendo ora si schianta.... no non si schianta

Provo ad applicare il metodo della discesa infinita ( )... non l'ho mai fatto, spero di non dire fesserie.

$ a^2+b^2 = 3c^2 $

Il fattore 3 deve essere presente nel primo membro: poiché i quadrati possono essere congrui solo a 0, 1 mod 3 abbiamo che l'unica strada percorribile è assumere che sia a sia b siano divisibili per 3. Poniamo a = 3j, b = 3k.

$ 9j^2+9k^2 = 3c^2 $

$ 3j^2+3k^2 = c^2 $

$ 3(j^2+k^2) = c^2 $

Allora anche c deve contenere un fattore 3: pertanto sostituiamo a c 3m e arriviamo a

$ 3(j^2+k^2) = 9m^2 $

$ j^2+k^2 = 3m^2 $ tornando a una forma analoga a quella di partenza e potendo ripetere indefinitamente il processo.

Pertanto l'unica soluzione è quella banale $ (0, 0, 0) $.

Ok (esercizio facile, giusto per ripassare un pò di teoria base )