Ancora quadrati? Ebbasta! Cesenatico 1996
Inviato: 03 mag 2008, 16:05
Si dimostri che l'equazione $ a^2+b^2=c^2+3 $ ammette come soluzioni infinite terne di interi $ a,b,c $.
Vediamo se sono in grado di scriverne una pulita:
Possiamo ricavare dall'ipotesi tale relazione : $ c^2-b^2=a^2-3 $ che può essere riscritta come $ (c-b)(c+b)=a^2-3 $ .Per ogni intero positivo dispari $ 2n+1 $ abbiamo $ (n+1)^2-n^2=2n+1 $ con n naturale. Ora imponendo $ a \equiv 0 \pmod 2 $ si ha $ a^2-3 \equiv 1 \pmod 2 $ e dunque riscrivendo $ a^2-3=2n+1 $ per quanto detto prima abbiamo $ a^2-3=(n+1)^2-n^2 $ con dunque c=n+1 e b=n.Poichè questo vale per ogni $ a \equiv 0 \pmod 2 $ e poichè esitono infiniti valori di a tali che $ a \equiv 0 \pmod 2 $ allora esistono infinite soluzioni come volevasi dimostrare.
