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Determinare per quali valori naturali di n il numero $ $n^{2006} +n+1 $ è primo.

Parma 2007

Osservazione 1: Se è Parma 2007, il 2006 cosa ci incastra?! Ci dovrà pur esser un 2007!!

Vediamo di riscrivere $ A=n^{2006}+n+1 $ in un modo che ci torni più utile.
Si nota subito che per $ n=1 $ abbiamo $ p=3 $.
Supponiamo allora, dato che questa soluzione l'abbiamo già trovata, $ n>1 $.
Allora è lecito scrivere $ A=\displaystyle \frac{(n^{2006}+n+1)(n-1)}{n-1} $.
Ci da un pò fastidio il denominatore, ma vedremo come fare..

$ \displaystyle A=\frac{n^{2007}-n^{2006}+n^2-1}{n-1} $ (È apparso il 2007 evvai! )

$ 2007=3\cdot 669, 2004= 3\cdot 668 $

$ \displaystyle A=\frac{(n^{2007}-1)-n^2(n^{2004}-1)}{n-1} $

Per facilitare un attimo i conti sostituiamo $ n^3=z $. Allora:

$ \displaystyle A=\frac{(z^{669}-1)-n^2(z^{668}-1)}{n-1} $

$ \displaystyle A=\frac{(z-1)(z^{668}+z^{667}+\dots +1)-n^2(z-1)(z^{667}+z^{666}+\dots +1)}{n-1} $

$ \displaystyle A=(n^2+n+1)(n^{2004}+n^{2001}+\dots +n^3+1) $$ -(n^2+n+1)(n^{2003}+n^{2000}+\dots +n^2) $

$ A=(n^2+n+1)(n^{2004}-n^{2003}+n^{2001}-n^{2000}+\dots +n^3-n^2+1) $

A questo punto è chiaro che $ n^2+n+1>1 $ se $ n\not =0 $ come anche l'altro mostro-fattore che possiamo riscrivere come $ (n-1)(n^{2003}+n^{2000}+\dots +n^2)+1 $.

Si verifica che per $ n=0 $ non si ottiene un primo (1), e l'unica soluzione è data quindi da $ n=1 $.

Spero di non aver scritto troppe bestialità

EUCLA ha scritto:Osservazione 1: Se è Parma 2007, il 2006 cosa ci incastra?! Ci dovrà pur esser un 2007!!

E a pensare che ho perso tutto ieri pomeriggio per farlo...

Anch'io c'ho perso un bel pò di tempo, tranquillo, l'ispirazione infatti m'è venuta quando ho letto nel tuo post Parma 2007

Ti sei fatto prendere anche te dal problem solving spietato pre-cesenatico?

[OT]

EUCLA ha scritto:Anch'io c'ho perso un bel pò di tempo, tranquillo, l'ispirazione infatti m'è venuta quando ho letto nel tuo post Parma 2007

Ti sei fatto prendere anche te dal problem solving spietato pre-cesenatico?

Solo spietato? Infernale!

[/OT]

Uh come siete complicati
Siano $ x_1, x_2 $ le soluzioni non reali di $ x^3=1 $.
Notiamo subito che allora $ x_1, x_2 $ sono le radici di $ \displaystyle x^2+x+1 $.
Vediamo anche una simpatica cosa: $ x_1^{2006} + x_1 + 1= x_1^{2004}x_1^2 +x_1+1 $$ \displaystyle = \left(x_1^3 \right)^{668}x_1^2+x_1=1 \cdot x_1^2+x_1+1=0 $ e similmente per $ x_2 $. Ma allora $ n^2+n+1=(n-x_1)(n-x_2) | n^{2006}+n+1 $, da cui si conclude come ha mostrato EUCLA

Tutto ciò per dire una cosa (trucchetto segnalatomi da edriv): se guardate gli esponenti del polinomio modulo 3 scoprite che sono (2,1,0) proprio come quelli di $ x^2+x+1 $, il che può far nascere dei sospetti!

Ciau!