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Determinare un polinomio p(x) di 3° grado tale che p(0)=0 e tale che
p(x)-p(x-1)=x^2 ; sfruttare tale risultato per trovare la somma dei quadrati dei
primi 10 numeri naturali.

Per la condizione $ \displaystyle p(0) = 0 $ hai:
$ \displaystyle p(x) = ax^3 + bx^2 +cx $
Ponendo la condizione $ \displaystyle p(x) -p(x-1) = x^2 $ ottieni le equazioni:
$ \displaystyle 2b - 3a = 0 $
$ \displaystyle a + c - b = 0 $
$ \displaystyle 3a = 1 $
da cui ricavi:
$ \displaystyle a = \frac{1}{3}, b = \frac{1}{2}, c = \frac{1}{6} $
Applicando il risultato ottenuto si ha che la somma dei quadrati dei primi 10 naturali e' uguale a:
$ \displaystyle p(10) - p(0) = p(10) = 385 $

Bye

flexwifi ha scritto:Per la condizione $ \displaystyle p(0) = 0 $ hai:
$ \displaystyle p(x) = ax^3 + bx^2 +cx $
Ponendo la condizione $ \displaystyle p(x) -p(x-1) = x^2 $ ottieni le equazioni:
$ \displaystyle 2b - 3a = 0 $
$ \displaystyle a + c - b = 0 $
$ \displaystyle 3a = 1 $
da cui ricavi:
$ \displaystyle a = \frac{1}{3}, b = \frac{1}{2}, c = \frac{1}{6} $
Applicando il risultato ottenuto si ha che la somma dei quadrati dei primi 10 naturali e' uguale a:
$ \displaystyle p(10) - p(0) = p(10) = 385 $

Bye

scusami, mi spiegheresti come ottieni le tre equazioni, hai sostituito alla x, x-1??

l'ultima cosa, per calcolare la somma dei quadrati dei primi dieci num, perchè scrivi p(10)-p(0)

grazie per l'aiuto..ciao

Le 3 equazioni le ottieni ponendo:
$ \displaystyle p(x) - p(x-1) = x^2 $
che equivale a dire:
$ \displaystyle ax^3 + bx^2 +cx - a(x - 1)^3 - b(x - 1)^2 - c(x - 1) = x^2 $
cioè facendo i calcoli:
$ \displaystyle 3ax^2 + (2b - 3a)x + (a + c - b) = x^2 $
da cui derivano le 3 equazioni.
Per il secondo punto hai:
$ \displaystyle p(10) - p(9) = 10^2 $
$ \displaystyle p(9) - p(8) = 9^2 $
$ \displaystyle ... $
$ \displaystyle p(2) - p(1) = 2^2 $
$ \displaystyle p(1) - p(0) = 1^2 $
Sommando tutti i termini a destra ottieni la somma dei quadrati dei primi 10 interi, sommando tutti i termini a sinistra ottieni $ \displaystyle p(10) - p(0) $

Bye