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In una tavola circolare ci sono 60 posti occupati da 30 uomini e dalle 30 rispettive mogli. Mostrare che esistono almeno due signore che siedono alla stessa distanza dai rispettivi mariti.

Non è troppo difficile, ma la mia soluzione è orrenda, se c'è qualcuno che ne trova una umana...

Ma se io dico che le distanze possibili sono 29 e essendo le donne 30 per i cassetti ce ne sono due uguali dove sbaglio?

Edit: avevo frainteso quello che dicevi...sorry
Riedit:nn avevo frainteso avevo sbagliato il conto pur io bisorry

Agi_90 ha scritto:Ma se io dico che le distanze possibili sono 29 e essendo le donne 30 per i cassetti ce ne sono due uguali dove sbaglio?

Sei sicuro che le distanze siano 29? se consideriamo le persone tra i coniugi, estremi esclusi, la distanza più piccola è 0 quando sono a fianco, quella più grande 29, dove marito e moglie sono diametralmente opposti, quindi 30 distanze.

Edit:@Carlein anche se non è assegnato un verso, le distanze sono 30. Posto il marito, la moglie può stare in 59 posti: 58 saranno coppie simmetriche di posti a distanza uguale, quindi 29 distanze, più una che è unica, e cioè a diametro.

julio14 ha scritto:

Agi_90 ha scritto:Ma se io dico che le distanze possibili sono 29 e essendo le donne 30 per i cassetti ce ne sono due uguali dove sbaglio?

Sei sicuro che le distanze siano 29? se consideriamo le persone tra i coniugi, estremi esclusi, la distanza più piccola è 0 quando sono a fianco, quella più grande 29, dove marito e moglie sono diametralmente opposti, quindi 30 distanze.

già infatti... sembrava troppo facile!

edit:

Questa dovrebbe funzionare. Numeriamo i posti da 1 a 60 e coloriamo i pari con il bianco e i dispari con il nero. Il numero dei neri è chiaramente uguale al numero dei bianchi. Notiamo che le distanze possibili sono 30, quindi dovrebbero comparire tutte, definiamo la distanza come numero di sedie tra un coniuge e l'altro. Tutte le distanze pari collegheranno due colori diversi, mentre tutte quelle dispari collegheranno due colori uguali. Ma ci sono un numero dispari di distanze dispari, quindi o i bianchi o i neri saranno di più. Assurdo.

Si vede facilmente che se marito e moglie distano x essi distano anche 60-x.
Chiamiamo (a_1;b_1), (a_2;b_2) .... (a_30;b_30) le varie distanze $d_1$ marito-moglie.
Coloriamo due persone adiacenti una di nero e una di bianco, quindi in totale ci sono 30 persone nere e 30 bianche.
Supponiamo adesso che le disanze $d_i$ siano tutte diverse allora (a_1;b_1)=1, (a_2;b_2)=2,... (a_30;b_30)=30.
Ogni $d_i$ dispari è composto da una persona nera ed una bianca e quindi in totale 15 persone nere e 15 bianche. Ci rimangono quindi 15 bianche e 15 nere che sono numeri dispari.
Ogni $d_j$ pari ha due persone dello stesso colore e quindi ci aggiunge un numero di persone bianche o nere che è sempre pari.
Abbiamo quindi dimostrato che il numero di persone bianche e persone nere è dispari, però nelle nostre ipotesi ne abbiamo invece un numero pari. assurdo
P.S é uno dei miei primi post siate clementi anche se sbaglio qualcosa.

Ok a tutti e due, la mia era sostanzialmente la stessa vostra, forse più come quella di agi, solo che non scrivendola ma avendola solo in testa mi sembrava contorta a leggerla non fa poi così schifo