OliForum Matematico

Non sapevo se postare in algebra o geometria visto che il quesito è tratto dall'Abate..
Dato un endomorfismo T di uno sp. vettoriale V tale che ToT=T^2=Id, dimostrare che T è diagonalizzabile

Grazie a chiunque si impegnerà e mi scriverà 2 righe di soluzione!!

Avresti sbagliato comunque, non è problem solving olimpico. Attendi e qualche mod lo traslerà in Matematica non elementare...

Già...

e comunque questo non è il forum per farsi aiutare a fare i compiti.
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Ti consiglio di cercar consiglio altrove...

su due piedi credo che ToT= id => T=T^-1 , quindi la matrice è simmetrica...potrei anche sbagliarmi

karletto0688 ha scritto:su due piedi credo che ToT= id => T=T^-1 , quindi la matrice è simmetrica...potrei anche sbagliarmi

Uazp. No, sbagli. Casomai una matrice simmetrica $ ~A\in\mathrm{M}_n(\mathbb{K}) $ è tale per cui
$ ~A=A^t $
cioè l'elemento di posto ij coincide con l'elemento di posto ji, per ogni $ ~1\le i,j\le n $....
Ora dico le mie sciocchezze:

Riguardo al problema originario.... prova a pensare a due cose.
Quand'è che una matrice è diagonalizzabile? E com'è fatto il polinomio minimo di una matrice T tale che T²=id? (se può aiutarti, le matrici fatte in quel modo sono riflessioni, o piu generalmente involuzioni)...

Per vedere che l'endomorfismo è diagonalizzabile basta che osservi che o T è più o meno l'identità oppure il suo polinomio minimo è $ \mu(t)=t^2-1 $, che si spezza in attori lineari su qualunque campo.