Vorrei sapere se la dimostrazione alternativa che ho dato al punto b è corretta:Cesenatico 2001, problema 3 ha scritto: Si consideri l'equazione $ x^{2001} = y^x $
(a).......
(b) Determinare tutte le coppie (x y) di soluzioni in cui x e y sono interi positivi.
(Si ricordi che$ 2001 = 3\cdot23\cdot29 $)
$ x^{2001} = y^x $
$ 2001\cdot log_x {x} = x \cdot log_x{y} $
$ 2001 = x \cdot log_x{y} $
Dovendo poi avere x intero e sapendo dall'equazione di partenza che y è una potenza di x e che y è intero possiamo scrivere:
$ y=x^k $ per un qualche k intero.
Quindi $ 2001 = x \cdot k $
A questo punto, essendo x e k interi, si possono avere solo 8 casi (essendo 3 i fattori primi di 2001)
x= 1, k =2001 . Allora y=1 Soluzione: (1,1)
x= 3, $ k = 23\cdot29 $ . Allora $ y= 3^{23\cdot29} $
x= 23, k = . Allora y= .........
x= 29, k = . Allora y= .........
$ x= 3\cdot23 $, k = . Allora y= .........
$ x= 3\cdot29 $, k = . Allora y= ........
$ x= 23\cdot29 $, k = . Allora y= ..........
x= 2001,k = .........
Si verifica poi facilmente che ciascuna delle coppie così trovate soddisfa l'equazione di partenza.
(Non ho finito i casi a mano perchè tanto sono solo conti, a me interessa la dimostrazione in se)
Che ve ne pare??