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dato un triangolo ABC si conduca la bisettrice per A e sia K il punto d'intersezione con il lato BC dimostrare che i lati AB e AC sono maggiori del lato AK (suggerimento: utilizzare il fatto che in un triangolo lato maagiore è opposto ad angolo maggiore)

alberto86 ha scritto:dato un triangolo ABC si conduca la bisettrice per A e sia K il punto d'intersezione con il lato BC dimostrare che i lati AB e AC sono maggiori del lato AK (suggerimento: utilizzare il fatto che in un triangolo lato maagiore è opposto ad angolo maggiore)

la tesi non quadra, è vero che uno dei due lati è maggiore della bisettrice ma non è sempre vero che lo sono entrambi...

¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ ha scritto:

alberto86 ha scritto:dato un triangolo ABC si conduca la bisettrice per A e sia K il punto d'intersezione con il lato BC dimostrare che i lati AB e AC sono maggiori del lato AK (suggerimento: utilizzare il fatto che in un triangolo lato maagiore è opposto ad angolo maggiore)

la tesi non quadra, è vero che uno dei due lati è maggiore della bisettrice ma non è sempre vero che lo sono entrambi...

infatti...
per esempio con un tirangolo rettangolo, se fai la bisettrice a uno dei 2 angoli non retti trovi un segmeto maggiore a uno dei 2 cateti...

scusate l'ho scritto male..chiede di dimostrare che BK<AB e CK<AC

$ \displaystyle \overline{BK} = \frac{ac}{b+c} $ e $ \displaystyle \overline{KC} = \frac{ab}{b+c} $ quindi la tesi diventa $ b+c>a $ che esclusi i triangoli degeneri è la disuguaglianza triangolare.

¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ ha scritto:$ \displaystyle \overline{BK} = \frac{ac}{b+c} $ e $ \displaystyle \overline{KC} = \frac{ab}{b+c} $

Perdonami Gabriel ma... perché?

Saluti
Ob

Perché la bisettrice taglia il lato opposto in segmenti proporzionali ai lati tra cui è compresa, ovvero

$ \frac{AC}{AB}=\frac{CK}{BK} $

conseguenza del fatto che

$ \frac{AC}{AB}=\frac{AC\cdot AK\cdot\sin(\widehat{CAK})}{AB\cdot AK\cdot\sin(\widehat{BAK})}=\frac{[AKC]}{[AKB]}=\frac{AK\cdot CK\cdot\sin(\widehat{CKA})}{AK\cdot BK\cdot\sin(\widehat{BKA})}=\frac{CK}{BK} $

Comprendo

Grazie e ciao.
Ob

elianto84 ha scritto:Perché la bisettrice taglia il lato opposto in segmenti proporzionali ai lati tra cui è compresa, ovvero

$ \frac{AC}{AB}=\frac{CK}{BK} $

conseguenza del fatto che

$ \frac{AC}{AB}=\frac{AC\cdot AK\cdot\sin(\widehat{CAK})}{AB\cdot AK\cdot\sin(\widehat{BAK})}=\frac{[AKC]}{[AKB]}=\frac{AK\cdot CK\cdot\sin(\widehat{CKA})}{AK\cdot BK\cdot\sin(\widehat{BKA})}=\frac{CK}{BK} $

ok, ma questa da dove esce???
$ {BK} = \frac{ac}{b+c} $

$ \left\{\begin{array}{rcl} b\,BK - c\,CK &=& 0 \\ BK + CK &=& a\end{array}\right. $