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Dimostrare che ogni numero intero positivo può essere espresso come somma di non più di $ 53 $ quarte potenze di numeri interi

scusa scusa ho frainteso alla grande....

devi dimostrare che ogni intero si puo esprimere come somma di alcuni addendi che sono numeri interi elevati alla quarta:
$ \displaymode\\ 1=1^4\\2=1^4+1^4\\3=1^4+1^4+1^4\\......\\17=2^4+1^4\\.........\\ $
e questi addendi non sono mai più di 53.
Chiaro

Una bella Lemmata:

Lemma 1) Gli interi che sono somma di quattro quadrati formano un semigruppo, attraverso la norma indotta dalla moltiplicazione di quaternioni;
Lemma 2) Per ogni primo p esiste un multiplo di p, diciamo kp, che può essere espresso come somma di quattro quadrati;
Lemma 3) Ogni primo p può essere espresso come somma di quattro quadrati, un metodo di discesa è generato dalla riduzione modulo k e dalla legge di semigruppo;
Lemma 4) Ogni intero è somma di quattro quadrati.

(Sono cose arcinote, ma vi invito a provarle, sono molto istruttive).
Ed ora l'identità di Liouville:

$ \displaystyle 6\left(\sum_{i=1}^{4} x_i^2\right)^2 = \sum_{1\leq i < j\leq 4}(x_i-x_j)^4+(x_i+x_j)^4 $

che messa assieme al Lemma 4 produce il
Lemma 5) Ogni intero nella forma $ 6 q^2 $ è somma di 12 quarte potenze;
da cui pure
Lemma 6) Ogni intero multiplo di 6 è somma di 48 quarte potenze;
e a meno di sommare $ 1^4 $ per al più cinque volte
Lemma 7) Ogni intero è somma di 53 quarte potenze.

elianto84 ha scritto:Lemma 1) Gli interi che sono somma di quattro quadrati formano un semigruppo, attraverso la norma indotta dalla moltiplicazione di quaternioni;
[...]
Lemma 3) Ogni primo p può essere espresso come somma di quattro quadrati, un metodo di discesa è generato dalla riduzione modulo k e dalla legge di semigruppo;

solo perché non siamo in mne: il lemma 1 vuol dire che il prodotto di due somme di quattro quadrati e una somma di quattro quadrati a sua volta, e nel lemma tre "legge di semigruppo" = "moltiplicazione"...
non vorrei mai che qualche novello si spaventasse per la parola e non affrontasse il (davvero bel) problema..

E' importante notare che tale upper bound (53) è molto lasco; sfruttando il fatto che ogni intero è somma di 3 quadrati - fatta eccezione per i numeri nella forma $ 4^m (8k+7) $ (per cui basta sommare 6 e la forma non è più quella), studiando in dettaglio alcuni casi particolari (interi inferiori ad un tot, interi in certe classi residue modulo 6), si può concludere per via del tutto elementare che in realtà bastano 44 quarte potenze.

Vi propongo un problema intimamente connesso alla questione, meno elementare ma con maggiori opportunità di avvalorare congetture.

Sia $ N $ un numero congruo a 1 modulo 4 ma NON esprimibile come somma di due quadrati,
dunque un intero per cui esistono una quantità pari di primi congrui a 3 modulo 4 che lo dividono con molteplicità tutte dispari.
Sia $ k $ il minimo intero positivo per cui $ N + 12k $ è esprimibile come somma di due quadrati.

1) Fornire un upper bound per k
2) Con tale stima si riesce ad affermare che ogni intero è somma di $ g(4) $ quarte potenze, con $ g(4)<44 $ ?

elianto84 ha scritto:E' importante notare che tale upper bound (53) è molto lasco; sfruttando il fatto che ogni intero è somma di 3 quadrati - fatta eccezione per i numeri nella forma $ 4^m (8k+7) $ (per cui basta sommare 6 e la forma non è più quella), studiando in dettaglio alcuni casi particolari (interi inferiori ad un tot, interi in certe classi residue modulo 6), si può concludere per via del tutto elementare che in realtà bastano 44 quarte potenze.

Dal tuo primo post si vedeva abbastanza facilmente che si poteva diminuire il bound a 50 (basta la somma di 2 quarte potenze per coprire i residui modulo 6), ma in effetti l'idea che molti interi positivi sono somma di solo 3 quadrati non è male. Soltanto non sono riuscito a trovare una dimostrazione del fatto che:

ogni intero (positivo) è somma di 3 quadrati - fatta eccezione per i numeri nella forma $ 4^m (8k+7) $

Tu sai come si fa? (se possibile in maniera elementare, sennò ho poche speranze di capirla...)

elianto84 ha scritto:Sia $ N $ un numero congruo a 1 modulo 4 ma NON esprimibile come somma di due quadrati,
dunque un intero per cui esistono una quantità pari di primi congrui a 3 modulo 4 che lo dividono con molteplicità tutte dispari.
Sia $ k $ il minimo intero positivo per cui $ N + 12k $ è esprimibile come somma di due quadrati.

1) Fornire un upper bound per k

Qualcosa mi sfugge.. Un upper bound "fisso" non esiste per il teorema cinese del resto, un upper bound che dipende da N non saprei proprio come usarlo... Tu quale dei due intendevi, e come pensavi di usarlo?

ciau!

Per quanto riguarda il teorema dei tre quadrati, la tecnica standard è l'applicazione del prodotto triplo di Jacobi alle q-serie (e alle loro derivate):
con la dovuta perizia si riesce a determinare esplicitamente quale sia la funzione aritmetica che fornisce il numero di rappresentazioni; vedi
http://citeseer.ist.psu.edu/cache/paper ... ations.pdf

La medesima tecnica permette di dimostrare cose piuttosto spettacolari, come le identità di Ramanujan sulla funzione delle partizioni, ed altre amenità che da sempre mi appassionano (se ti va puoi dare un'occhiata alla mia tesina, la trovi googlando Jacopo D'Aurizio, ci sono un paio di applicazioni non troppo contorte della tecnica).

Sono certo esistano dimostrazioni elementari, e ragionevolmente sicuro che l'originale dimostrazione di Liouville lo fosse, ma temo siano molto meno fluide.
Mi riservo di uscire dalla mia parziale ignoranza studiandone qualcuna.

Per quanto riguarda il secondo problema ti dò ragione, anche avere $ k = O(\log n) $ e $ N + 12k $ esprimibile come somma di due quadrati non è di grande aiuto
(lima la stima, ma solo in un intervallo).

La questione alle spalle voleva essere: usare che QUASI ogni intero è somma di tre quadrati lima globalmente la stima;
accade lo stesso usando che QUASI QUASI ogni intero è somma di due quadrati?
(Sottointendendo che il senso del "QUASI" sia da precisare secondo piacimento/convenienza).

Saluti e a presto!

lemma(1):una semplice identità
$ (a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2) $$ \\=(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+a_4b_4)^2+(a_1b_2-a_2b_1+a_3b_4-a_4b_3)^2 $$ +(a_1b_3-a_3b_1+a_4b_2-a_2b_4)^2+(a_1b_4-a_4b_1+a_2b_3-a_3b_2)^2 $
C'è un modo ,elementare, per arrivare a questa identità senza sviluppare il prodotto a sinistra e dopo racogliere?