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mostrare che $ \forall x \neq \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} $ vale:

$ {(\sin^2{x})}^{(\cos^2{x})}{(\cos^2{x})}^{(\sin^2{x})} + {(\sin^2{x})}^{(\sin^2{x})}{(\cos^2{x})}^{(\cos^2{x})} \le 1 $

Forse si può applicare Holder.
Poniamo :
$ \displaystyle \sin^2x=a,\cos^2x=b $ e la diseguaglianza diventa:
$ \displaystyle a^b\cdot b^a+b^b \cdot a^a \leq 1,a+b=1 $
Applicando Holder risulta:
$ \displaystyle LHS \leq (a+b)^b\cdot (b+a)^a=(a+b)^{a+b}=1 $
karl

karl ha scritto:Forse si può applicare Holder.
Poniamo :
$ \displaystyle \sin^2x=a,\cos^2x=b $ e la diseguaglianza diventa:
$ \displaystyle a^b\cdot b^a+b^b \cdot a^a \leq 1,a+b=1 $
Applicando Holder risulta:
$ \displaystyle LHS \leq (a+b)^b\cdot (b+a)^a=(a+b)^{a+b}=1 $
karl

e come funzionerebbe questo holder??

p.s LHS sarebbe??

http://en.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6lder%27s_inequality

oppure se preferisci pagina 27 del gobbino.

LHS = Left Hand Side = il membro di sinistra
RHS = Right Hand Side = il membro di destra

$ \displaystyle \sum_{i = 1}^n |a_ib_i |\leq \left ( \sum_{i = 1}^n |a_i|^p\right )^{1/p}\left (\sum_{i=1}^n |b_i|^q \right )^{1/q} $ con $ 1/p + 1/q = 1 $

edit: bella soluzione!

La dis. di Holder si può anche mettere in una forma diversa.Per esempio:
$ \displaystyle (x_1^{p_1} \cdot y_1^{p_2}\cdot z_1^{p_3})+(x_2^{p_1} \cdot y_2^{p2} \cdot z_2^{p_3})+(x_ 3 ^{p_1}\cdot y_3 ^{p_2}\cdot z_3^{p_3}) \le $$ (x_1 +x_2 + x_3)^{p_1} (y_1 +y_2 + y_3)^{p_2}(z_1 + z_2 + z_3)^{p_3} $
dove $ \displaystyle x_i,y_i,z_i,p_i $ sono reali positivi con la condizione che risulti $ \displaystyle p_1+p_2+p_3=1 $
La formula si può estendere al caso di un numero qualunque di termini purché verificanti le anzidette condizioni.
Come applicazione si può provare a risolvere la diseguaglianza :
$ \sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq 1 $ con 0<a,b,c<1
karl

Oppure volendo si nota che $ \forall x \neq \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} $ ho $ \sin^2{x} \le 1 $ e $ \cos^2{x} \le 1 $, da cui

$ LHS \le \ sin^2{x}\cos^2{x}+sin^2{x}\cos^2{x}=2\sin^2{x}\cos^2{x} $

Ponendo $ \sin^2{x}=y $ ho che $ 2y(1-y) \le 1 $ che viene per AM-GM.

come lo giustifichi questo?

Alex89 ha scritto:$ LHS \le \ sin^2{x}\cos^2{x}+sin^2{x}\cos^2{x} $

per chi volesse cimentarsi comunque esistono almeno altre due soluzioni molto piu elementari di Holder..