OliForum Matematico

Ciao a tutti,

mi è capitato di recente questo problema:

dati tre numeri reali a, b, c maggiori di 3, dimostrare che abc > ab + bc + ca

Penso che ci sia un metodo "olimpico" per risolvere questo problema, ma io mi sono basato sull'analisi. Voglio fare in modo che:

abc - ab - bc - ac > 0

La derivata rispetto ad a risulta:

f'(a) = bc - b - c = b (c - 1) - c

Ora deriviamo questa espressione rispetto a b e risulta

f'(b) = c - 1

A questo punto, sappiamo che c - 1 > 0, perchè c > 3, quindi la funzione
b (c - 1) - c cresce al crescere di b e, per simmetria, cresce al crescere di c. Pertanto la funzione è minima se b e c tendono a 3, quindi l'estremo inferiore è 9 - 3 - 3 = 3 e si può dedurre che:

f'(a) > 0 per ogni a

Quindi la funzione abc - ab - bc - ac è crescente rispetto ad a e, per simmetria, è crescente anche rispetto a b e a c. Il minimo si ha quando a, b e c sono molto vicini a 3. L'estremo inferiore è f(3,3,3) = 27 - 9 - 9 - 9 = 0, ma questo non viene mai raggiunto dato che tutti e tre i numeri sono maggiori di 3 e non maggiori o uguali. Si può concludere che la funzione è maggiore di 0 in tutti i suoi punti, come volevasi dimostrare.

Dopo questo lunghissimo preambolo, veniamo alla domanda principale: se risolvo un problema di algebra in questo modo allo stage pre-IMO, o a qualsiasi gara matematica, cosa dice la giuria? Lo accetta? O mi critica perchè ho usato un metodo non olimpico e mi dà pochi punti?
Sapete, questo sistema di risoluzione è molto più meccanico, quindi senza dubbio più brutto, ma anche più veloce di qualunque sistema olimpico. Ma è lecito usarlo?
Vi ringrazio molto,

Mike

PS: se qualcuno trova una soluzione senza usare l'analisi, potrebbe postarla?

Per quel che ne so io l'uso dell'analisi non è vietato, ma non è incoraggiato; in particolare si esigono maggiori rigore e precisione. Comunque il problema è facile anche senza analisi: ab + bc + ca < abc, divido tutto per abc e ottengo $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < 1 $ che è ovvio poiché i numeri sono maggiori di 3.

Direi che essendo i tre numeri $ \displaymath >3 $ potresti impunemente dividere tutto per $ \displaymath abc $

Poi, per alcune proprietà ovvie dei reali positivi
$ \displaymath \frac{1}{a}<\frac{1}{3} $ e simmetricamente per gli altri due.

To sum up, c'è la tesi.
Non inventare problemi troppo analitici

a presto
meditans

accidenti.. qualcuno mi ha preceduto

meditans

Ehm, in effetti avete ragione, era molto più facile, è che ho provato a pensare a un problema che richiedesse l'analisi x fare un esempio, e non ne ho trovato uno migliore e poi non ho pensato a una soluzione più intelligente...cmq grazie mille delle risposte
Ciao ciao,
Mike