OliForum Matematico

Trovare tutte le coppie $ (p,q) $ di numeri primi tali che $ p|5^q+1 $ e $ q|5^p+1 $

Invito a rispondere chi non abbia già visto la soluzione sul libro "Le olimpiadi della matematica".

Dunque... possiamo supporre wlog $ p \leq q $, ed inoltre sappiamo che $ 5^{2q} \equiv 1 \pmod p $, ossia che l'ordine moltiplicativo modulo p di 5 è uno tra $ \left{ 1,2,q,2q \right} $.
Se è 1, allora $ 4 \equiv 0 \pmod p $, che dà due soluzioni: $ (2,2) $ e $ (2,13) $
Se è 2, allora $ p | 24 $, ed escludendo il caso p=2 si hanno le soluzioni con p=3: $ (3,3) $ e $ (3,7) $
Se è q, allora $ -1 \equiv 5^q $ per ipotesi, ma d'altra parte $ 5^q \equiv 1 \pmod p $ per definizione di ordine moltiplicativo, perciò $ -1 \equiv 1 \pmod p \Rightarrow p=2 $, già trattato
Se infine è 2q, allora $ 2q=ord_p(5) | \varphi(p) = p-1 < p \leq q $, assurdo per "dimensioni".
Ricapitolando, dovrebbero essere solo (spero): (2,2); (2,13); (3,3); (3,7) e le loro simmetriche.

Ora, dal titolo capisco che qualcosa non torna nelle soluzioni ufficiali... cosa?
EDIT: Sono veramente stordito, è che non avevo trovato il problema nel libro... in effetti la soluzione ufficiale - che sto ancora cercando di capire - non riporta la soluzione (3,7), che però (per prova manuale! ) sembra funzionare... appena capisco la loro soluzione magari edito ancora

Ciau!

Se non ricordo male in un passaggio sbaglia a eseguire una somma o una differenza. In ogni caso credo che g(n) specificherà meglio.

PS @ Darkcrystal: comunque il libro dovresti averlo...

EDIT: prova a guardare dove somma due fattori di un prodotto che dovrebbe essere una potenza di 5...

Esatto, nelle soluzioni ufficiali manca la soluzione (3,7) e simmetrica che in effetti funziona.

La mia soluzione è in pratica quella di darkcrystal. Ho postato il problema un po' per vedere se anche per voi l'idea più semplice fosse quella riguardo agli ordini moltiplicativi, un po' per cercare l'errore(che non ho trovato più che altro perchè non ho capito alcuni passaggi).

Appena riesco gli dedico un po' di tempo. Intanto chiunque trovi qualcosa è pregato di farsi avanti!

EDIT ho visto adesso l'edit di feddystra Magari domani provo a vedere...Notte!