TEORIA ASSIOMATICA DEGLI INSIEMI (parte 4)

[Jean-Paul]

L’insieme f = {‹x,y› appartiene a ω×ω : y = x+} è una funzione da ω in ω perchè da y = x+ e y' = x+ segue y = y'. f è inoltre definita su tutto ω perchè, essendo tale insieme induttivo, per ogni x appartenente a ω, x+ appartenente a ω e quindi la coppia ‹x,x+› appartiene a f.

Usando il teorema enunciato qui sotto si dimostri che f è una biiezione tra ω e un suo sottoinsieme proprio.

Teorema
Siano n, m arbitrari elementi di ω e X un sottoinsieme di ω. Allora:
(I) Ø≠n+;
(II) n+ = m+ implica n = m;
(III) se Ø appartiene a X e, per ogni k appartenente a ω, k appartenente a X implica k+ appartiene a X, allora X=ω.

Quale potrebbe essere una possibile soluzione?

Grazie