OliForum Matematico

siano $ a,b,c $ reali non negativi tali che $ a^2+b^2+c^2+abc=4 $.

mostrare che $ ab+bc+ca-abc \le 2 $

sicuro che il testo sia corretto?


con $ a=b=2 $ e $ c=0 $ viene $ 4 \le 2 $

jordan ha scritto:siano reali non negativi tali che $ $a^2+b^2+c^2+abc=4 $

se $ $a=b=2, c=0 $ allora $ $a^2+b^2+c^2+abc=8 $ , ciò va contro le ipotesi.

che stupido, nel ricopiare su carta ho tralasciato i quadrati!

ma allora le soluzioni non sono o tutti uguali a 1 o due uguali a zero e uno a 2?

EDIT:pardon, ho sbagliato tutto (ho copiato male pure R: avevo scritto N. Sono messo male)!fate come se non avessi scritto!

gabri ha scritto:ma allora le soluzioni non sono o tutti uguali a 1 o due uguali a zero e uno a 2

attento, leggi bene le ipotesi. Tu stai considerando solo $ $a,b,c $ naturali, mentre il problema ti chiede di considerare $ $a,b,c $ reali.
Poi il problema consiste nel provare una tesi, non nel trovare delle soluzioni

dai nel frattempo che i "senior" se ne stanno a pisa ci sarà qualcuno tra i "junior" in grado di risolverlo?

[io non ci ho dormito duenotti, xo m'è piaciuto..]

Chiamo $ $S=a+b+c , Q=ab+bc+ca , P=abc$ $
Il vincolo diventa quindi $ $S^2-2q+ P=4 \longrightarrow P=4+2q-s^2$ $
E la disuguaglianza diventa $ $q-p\leq2$ $.
Sostituendo p, si ottiene $ $s^2 -q -6\leq0$ $.
Ma, per la disuguag di Shur è vero che $ $s^3-4sq+9p\geq0$ $, da cui
$ $s^3-4sq+36+18q-9s^2\geq0$ $.
cioè $ $q\geq \frac{s^3-9s^2+36}{18-4s}$ $.
Prendendo il minimo valore di q, si ottiene il massimo del LHS della disuguaglianza,cioè
$ $s^2-\frac{s^3-9s^2+36}{18-4s} -6=-5s^3+27s^2+24s-244\leq0$ $,quindi deve essere
$ $5p^3-27p^2-24p+244\geq0$ $.
Ma il minimo di questo polinomio è 36.

Soluzione delle ore1,22 in fase di semi-sonno,quindi sono quasi certa di aver commesso degli errori, dato che già da sveglia ho un'ottima tendenza a delirare..

Ecco, infatti funzionava solo grazie a dei grossolani errori di calcolo...