OliForum Matematico

Let a; b; c; d be integers. Show that the product
$ (a + b)(a + c)(a + d)(b + c)(b + d)(c + d) $
is divisible by 12.

spero che nessuno abbia problemi con la traduzione

Sicuro che il testo sia giusto? Con (1;4;7;10) viene un po' poco divisibile per 3...

infatti!
io ho fatto un copia-incolla da un problema del PEN...
e pensare che dopo averlo postato ho passato almeno un quarto d'ora a tentare di dimostrarlo prima di capire che qualcosa non andava.
pare che questo problema fosse apparso in Slovenia 1996!

gabri ha scritto:infatti!
io ho fatto un copia-incolla da un problema del PEN...
e pensare che dopo averlo postato ho passato almeno un quarto d'ora a tentare di dimostrarlo prima di capire che qualcosa non andava.
pare che questo problema fosse apparso in Slovenia 1996!

Il testo originale dice $ (a-b)(a-c)... $ (problema A11 del PEN)

Per pigeonhole almeno 2 numeri hanno lo stesso resto $ \pmod 3 $ quindi almeno 1 dei fattori (le differenze ) è multipla di 3.
Inoltre se abbiamo due numeri della stessa parità e due dell'altra abbiamo 2 fattori pari (quindi il prodotto multiplo di 4)
Se abbiamo tre numeri della stessa parità abbiamo 3 fattori pari.
Altrimenti abbiamo tutti i numeri della stessa parità quindi tutti i fattori sono pari.

Il prodotto è sempre multiplo di 12[/tex]

Edit: correzione prima frase

eli90 ha scritto:Per pigeonhole almeno 3 numeri hanno lo stesso resto

non mi è chiaro prova ad esplicitare questo passaggio.

Sì infatti ho scritto una cavolata... Volevo dire 2 numeri hanno lo stesso resto $ \pmod3 $
Il senso comunque non cambia, ho pensato giusto e ho scritto sbagliato
Ora correggo

Se ne era parlato anche qui!
E già che ci siamo ripropongo anche la generalizzazione:
Dati $ a_1,...,a_n $ interi allora$ \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}k! $ divide $ \displaystyle\prod_{i<j}(a_i-a_j) $

Cammy87 ha scritto:Dati $ a_1,...,a_n $ interi allora$ \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}k! $ divide $ \displaystyle\prod_{i<j}(a_i-a_j) $

Esiste una generalizzazione più forte:

Dati $ a_1,...,a_n $ interi allora $ \displaystyle\prod_{i<j}\frac{a_j-a_i}{j-i} $ è intero.

Ciau!

EDIT: oooops, hai ragione jordan, sono decisamente equivalenti, avevo letto male il testo....

piever ha scritto:Esiste una generalizzazione più forte:

Dati $ a_1,...,a_n $ interi allora $ \displaystyle\prod_{i<j}\frac{a_j-a_i}{j-i} $ è intero.

Ciau!

da cui prese spunto wolverine..

@piever:sicuro sia piu forte?

Non so fino a che punto questa si possa chiamare dimostrazione (sempre che sia giusta)

Creiamo una strategia che scelga i numeri in modo da ridurre al minimo i multipli di un certo numero $ m $.
I cassetti sono i possibili resti $ \pmod m $
Siccome $ \forall k $ $ \binom{k}{2}-\binom{k-1}{2}<\binom{k+1}{2}-\binom{k}{2} $ conviene sempre mettere un numero nel cassetto "più vuoto".
Vediamo che scegliendo i primi $ n $ numeri si applica questa strategia per ogni $ m $.

ps: mi piacerebbe vedere una dimostrazione "olimpicamente accettabile"

@eli90: sostanzialmente la tua dimostrazione è giusta, solo che non sono la persona giusta per aiutarti a scrivere una dimostrazione che non perda punti.. (la mia griglia di cesenatico era 6-6-6-7-5-7). Qui trovi una mia dimostrazione che usa un simpatico lemma che puoi divertirti a dimostrare, più altre due dimostrazioni, di cui una però fa uso di cose che se non conosci non ti vengono in mente, mentre l'altra credo sia grossomodo uguale alla tua.