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Direttamente dal belgio...
Inviato: 20 mag 2008, 22:58
da gabri
Let a; b; c; d be integers. Show that the product
$ (a + b)(a + c)(a + d)(b + c)(b + d)(c + d) $
is divisible by 12.
spero che nessuno abbia problemi con la traduzione

Inviato: 20 mag 2008, 23:41
da julio14
Sicuro che il testo sia giusto? Con (1;4;7;10) viene un po' poco divisibile per 3...
Inviato: 21 mag 2008, 14:59
da gabri
infatti!
io ho fatto un copia-incolla da un problema del PEN...
e pensare che dopo averlo postato ho passato almeno un quarto d'ora a tentare di dimostrarlo prima di capire che qualcosa non andava.
pare che questo problema fosse apparso in Slovenia 1996!
Inviato: 21 mag 2008, 17:37
da Ale90
gabri ha scritto:infatti!
io ho fatto un copia-incolla da un problema del PEN...
e pensare che dopo averlo postato ho passato almeno un quarto d'ora a tentare di dimostrarlo prima di capire che qualcosa non andava.
pare che questo problema fosse apparso in Slovenia 1996!
Il testo originale dice $ (a-b)(a-c)... $ (problema A11 del PEN)

Inviato: 21 mag 2008, 18:28
da eli9o
Per pigeonhole almeno 2 numeri hanno lo stesso resto $ \pmod 3 $ quindi almeno 1 dei fattori (le differenze

) è multipla di 3.
Inoltre se abbiamo due numeri della stessa parità e due dell'altra abbiamo 2 fattori pari (quindi il prodotto multiplo di 4)
Se abbiamo tre numeri della stessa parità abbiamo 3 fattori pari.
Altrimenti abbiamo tutti i numeri della stessa parità quindi tutti i fattori sono pari.
Il prodotto è sempre multiplo di 12[/tex]
Edit: correzione prima frase
Inviato: 21 mag 2008, 18:35
da Desmo90
eli90 ha scritto:Per pigeonhole almeno 3 numeri hanno lo stesso resto
non mi è chiaro prova ad esplicitare questo passaggio.
Inviato: 21 mag 2008, 18:40
da eli9o
Sì infatti ho scritto una cavolata... Volevo dire 2 numeri hanno lo stesso resto $ \pmod3 $
Il senso comunque non cambia, ho pensato giusto e ho scritto sbagliato
Ora correggo
Inviato: 23 mag 2008, 17:40
da Cammy87
Se ne era parlato
anche qui!
E già che ci siamo ripropongo anche la generalizzazione:
Dati $ a_1,...,a_n $ interi allora$ \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}k! $ divide $ \displaystyle\prod_{i<j}(a_i-a_j) $
Inviato: 25 mag 2008, 11:02
da piever
Cammy87 ha scritto:Dati $ a_1,...,a_n $ interi allora$ \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}k! $ divide $ \displaystyle\prod_{i<j}(a_i-a_j) $
Esiste una generalizzazione più forte:
Dati $ a_1,...,a_n $ interi allora $ \displaystyle\prod_{i<j}\frac{a_j-a_i}{j-i} $ è intero.
Ciau!
EDIT: oooops, hai ragione jordan, sono decisamente equivalenti, avevo letto male il testo....

Inviato: 25 mag 2008, 12:08
da jordan
piever ha scritto:Esiste una generalizzazione più forte:
Dati $ a_1,...,a_n $ interi allora $ \displaystyle\prod_{i<j}\frac{a_j-a_i}{j-i} $ è intero.
Ciau!
da cui prese spunto wolverine..
@piever:sicuro sia piu forte?

Inviato: 25 mag 2008, 22:17
da eli9o
Non so fino a che punto questa si possa chiamare dimostrazione (sempre che sia giusta)
Creiamo una strategia che scelga i numeri in modo da ridurre al minimo i multipli di un certo numero $ m $.
I cassetti sono i possibili resti $ \pmod m $
Siccome $ \forall k $ $ \binom{k}{2}-\binom{k-1}{2}<\binom{k+1}{2}-\binom{k}{2} $ conviene sempre mettere un numero nel cassetto "più vuoto".
Vediamo che scegliendo i primi $ n $ numeri si applica questa strategia per ogni $ m $.
ps: mi piacerebbe vedere una dimostrazione "olimpicamente accettabile"

Inviato: 26 mag 2008, 12:21
da piever
@eli90: sostanzialmente la tua dimostrazione è giusta, solo che non sono la persona giusta per aiutarti a scrivere una dimostrazione che non perda punti.. (la mia griglia di cesenatico era 6-6-6-7-5-7).
Qui trovi una mia dimostrazione che usa un simpatico lemma che puoi divertirti a dimostrare, più altre due dimostrazioni, di cui una però fa uso di cose che se non conosci non ti vengono in mente, mentre l'altra credo sia grossomodo uguale alla tua.