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sommatoria di n^2
Inviato: 21 mag 2008, 16:30
da snaggy
come si risolve la sommatoria per n che va da 1 a k di n^2 ?
es: con k = 5:
1+4+9+16+25 = 55
ma con k alti ovviamente non posso farlo a mente! come si ricava una soluzione generica del problema?
grazie
Luca
Inviato: 21 mag 2008, 17:12
da gabri
è una semplice somma di quadrati:
$ \displaystyle \sum_{n=0}^{k}n^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} $
è anche carina da dimostrare!
se avessi cercato sul forum prima di aprire un nuovo topic (peraltro in una sezione dedicata al problem solving), l'avresti sicuramente trovato!
Inviato: 21 mag 2008, 18:10
da Jonny Tendenza
Qua ci sono i passaggi che ti portano a quella formula!
Esiste anche una dimostrazione che fa uso dei numeri di Bernoulli.
Ciao!
Inviato: 21 mag 2008, 18:16
da Desmo90
Inviato: 12 giu 2008, 19:47
da elianto84
Oppure: si prova per induzione sulla struttura del triangolo di Tartaglia
(ogni numero è somma dei due che lo sovrastano, detta spiccia) che
$ \sum_{n=k}^{m}{n \choose k}={{m+1} \choose {k+1}} $
A questo punto un polinomio in $ n $ di $ k- $esimo grado
può essere espresso come combinazione lineare a coefficienti razionali
di $ \left\{{n \choose 0},{n \choose 1},\ldots,{n \choose k}\right\} $
e sommato su $ n $.
Per intenderci
$ \sum_{n=1}^{m} n^2 = 2 \sum_{n=1}^{m}{n \choose 2}+\sum_{n=1}^{m} {n \choose 1} = 2{{m+1} \choose 3} + {{m+1} \choose 2} $
Et le jeux sont faits.
(Dovrebbe essere anche sul vecchio forum...)