OliForum Matematico

...che mi ha fatto penare

presa dalla gara nazionale '99

(a) determinare tutte le coppie (x,k) di interi positivi che soddisfano l'equazione $ 3^k -1 = x^3 $
(b) dimostrare che per ogni intero $ n>1 $, diverso da 3, non esiste nessuna coppia (x,k) di interi positivi che soddisfi l'equazione $ 3^k-1=x^n $

spoilero:
(a) portiamo -1 al secondo membro e facciamo somma di due cubi: abbiamo $ 3^k=(x+1)(x^2-x+1) $ da cui che i due fattori al secondo membro sono delle potenze di 3. Poniamo a,b interi positivi. Allora $ x^2-x+1=3^a $e$ x+1=3^b $. Se $ b \ge a $ allora $ x \le 2 $. Per x=1 non abbiamo soluzioni, per x=2 abbiamo la soluzione (2,2). Poniamo ora a>b. Esplicitiamo la x nella seconda equazione e sostituiamo nella prima. Otteniamo $ 3^{2b}+3^b+3=3^a $. Dividiamo tutto per 3 e otteniamo $ 3^{2b-1}+3^{b-1}+1=3^{a-1} $. Il primo membro non può essere multiplo di 3, per cui l'unica soluzione è (2,2)

(b) osserviamo che $ x^n $ è pari perchè differenza di due dispari, quindi x è pari. $ x^n+1 \equiv 0 (mod 3) $==>$ x^n \equiv 2 (mod 3) $ e questo è vero solo per $ x \equiv 2 (mod 3) $ e n dispari. Portiamo -1 al secondo membro e scomponiamo: $ 3^k=(x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}...-x+1) $. Come prima, i due fattori al secondo membro sono delle potenze di 3. Se $ x \equiv 2 (mod 3) $ allora le potenze di x con esponente pari saranno congrue a 1 modulo 3 e le potenze di x con esponente dispari saranno congrue a 2 modulo 3, quindi il secondo fattore è multiplo di 3 solo se n è multiplo di 3. Da qui in poi la dimostrazione è uguale a quella precedente, e si ottiene che x dev'essere minore o uguale a 2. Per x=1 non abbiamo soluzioni, per x=2 abbiamo soluzione (2,2) solo se n=3

penso di essere stato terribilmente prolisso. Alternative?

provo a dare una soluzione per la a)
Allora, scrivo l'equazione nella forma $ 3^k=(x+1)(x^2-x+1) $. Essendo $ 3^k $ unn numero dispari entrambi i fattori devono essere dispari, da cui si deduce che x è pari. Inoltre essi devono essere entrambi multipli di 3 quindi ragionando modulo 3 si ottiene che $ x\equiv 2 (mod3) $. I possibili valori di x sono quindi 2,8,14, ovvero della forma 2+6k. Sostituendo a x questa espressione si ottiene: $ 3^k=216k^3+216k^2+72k+9 $ Dividendo entrambi i membri per 9 si ottiene: $ 3^{k-2}=24k^3+24k^2+8k+1 $. A questo punto il secondo membro non è più divisibile per 3, quindi si ottiene un unica soluzione per K=2 e x=2...
Ditemi se è giusto perchè ho appena cominciato a sttudiare queste cose...

Fila fila

ok grazie!

String ha scritto:ragionando modulo 3 si ottiene che $ x\equiv 2 (mod3) $.

mi potresti spiegare questo passaggio perchè non lo capisco.
scusa ma mi sono da poco messo a studiare la teoria dei numeri e delle congruenze.

matteo16 ha scritto:

String ha scritto:ragionando modulo 3 si ottiene che $ x\equiv 2 (mod3) $.

mi potresti spiegare questo passaggio perchè non lo capisco.
scusa ma mi sono da poco messo a studiare la teoria dei numeri e delle congruenze.

essendo 3 un numero primo, se il prodotto dei due fattori è $ 3^k $, allora i due fattori sono sicuramente uguali rispettivamente a $ 3^a $ e $ 3^b $ con $ a+b=k $.
quindi in $ mod3 $ devono dare resto 0, e perchè $ x+1 $ e $ x^2-x+1 $ siano multipli di 3, x deve essere della forma $ x=3j+2 $, quindi $ x\equiv 2 (mod3) $

Stex19 ha scritto:

matteo16 ha scritto:

String ha scritto:ragionando modulo 3 si ottiene che $ x\equiv 2 (mod3) $.

mi potresti spiegare questo passaggio perchè non lo capisco.
scusa ma mi sono da poco messo a studiare la teoria dei numeri e delle congruenze.

essendo 3 un numero primo, se il prodotto dei due fattori è $ 3^k $, allora i due fattori sono sicuramente uguali rispettivamente a $ 3^a $ e $ 3^b $ con $ a+b=k $.
quindi in $ mod3 $ devono dare resto 0, e perchè $ x+1 $ e $ x^2-x+1 $ siano multipli di 3, x deve essere della forma $ x=3j+2 $, quindi $ x\equiv 2 (mod3) $

okl penso di aver capito di più
ma come mai x deve essere di quella forma?
capisco che x deve essere multiplo di 3 ma allora non sarebbe semplicemente $ x=3j $?
non capisco quel +2 da dove venga.
perchè se si scegliesse j dispari x diventerebbe dispari

grazie per la vostra pazienza


EDIT: sono arrivato al passaggio x=3j+2 ma dalla congruenza stessa
invece si arriva alla medesima congruenza ramite quel passaggio(ho fatto diciamo il passagio inverso). però rimango ancora in dubbio

matteo16 ha scritto:

Stex19 ha scritto:

matteo16 ha scritto: mi potresti spiegare questo passaggio perchè non lo capisco.
scusa ma mi sono da poco messo a studiare la teoria dei numeri e delle congruenze.

essendo 3 un numero primo, se il prodotto dei due fattori è $ 3^k $, allora i due fattori sono sicuramente uguali rispettivamente a $ 3^a $ e $ 3^b $ con $ a+b=k $.
quindi in $ mod3 $ devono dare resto 0, e perchè $ x+1 $ e $ x^2-x+1 $ siano multipli di 3, x deve essere della forma $ x=3j+2 $, quindi $ x\equiv 2 (mod3) $

okl penso di aver capito di più
ma come mai x deve essere di quella forma?
capisco che x deve essere multiplo di 3 ma allora non sarebbe semplicemente $ x=3j $?
non capisco quel +2 da dove venga.
perchè se si scegliesse j dispari x diventerebbe dispari

grazie per la vostra pazienza

perchè è $ x+1 $ che deve essere multiplo di x, quindi x deve essere $ x=3j-1=3j+2 $, allo stesso modo $ x^2-x+1 $, se poni $ x=3j+2 $ hai $ 9j^2+4+12j-3j-2+1=9j^2+9j+3 $ che è evidente che è un multiplo di 3....